Antología

PRESENTACIÓN

¡Joven estudiante!

La Subdirección de Bachillerato General tiene a bien dirigirse a tÍ, para hacerte saber que una de sus mayores preocupaciones estriba en ofrecerte con calidad el servicio educativo que recibes en las Escuelas Preparatorias Oficiales, con fundamento en las políticas emanadas del Gobierno del Estado de México.

Por ello, el documento que tienes en tus manos representa el cumplimiento a uno de los grandes compromisos establecidos a través del Plan Maestro al inicio del período de mi gestión y que a la letra dice: “Renovar los enfoques pedagógicos en el diseño de los métodos de enseñanza y los contenidos propios del nivel”.

Así, la “Antología” o “Cuaderno de Trabajo” que tienes en tus manos es producto de la colaboración de los catedráticos del nivel y de asesores expertos que, sumando esfuerzos, hoy consolidan para tÍ este trabajo.

¡La tarea no fue fácil!, sobre todo si se toma en cuenta el dinamismo de la ciencia y la tecnología y el pronto desfase de los conocimientos; pero el propósito no es sustituir la bibliografía especializada, las fuentes de consulta de primera mano, ni las contribuciones que los mismos profesores, compañeros tuyos o especialistas día a día incorporan en las sesiones de clase, en los eventos académicos y en la vida misma.

Esta aportación es un apoyo sistemático de información de acuerdo a los temas del programa de estudio de la materia de Estadística; por lo cual, puedes considerarlo un pilar en el desempeño diario de tu formación.

Esperando que aproveches el contenido al máximo, te deseo éxito en tu vida de estudiante.




Cordialmente

Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez


T E M A R I O


UNIDAD I
NOCIONES PRELIMINARES
Presentación 1
Temario 2
Introducción 4
Objetivos Generales 6
Unidad 1 7
1.1 Introducción a la probabilidad 8
1.1.1 La probabilidad estadística 8
1.1.2 Estudio Básico de Probabilidades 9
1.2 Experimentos no determinísticos 17
1.3 Frecuencias relativas y absolutas 20
1.4 Nociones básicas de probabilidad 25

1.2 Nociones básicas de conteo 33
1.2.1 Permutaciones 33
1.2.2 combinaciones 39
1.2.3 Diagrama de árbol 46


UNIDAD II
ESPACIOS MUESTRALES
Objetivos 54
2.1 Espacios maestrales 55
2.1.1 El espacio muestral 55
2.1.2 Espacios maestrales finitos 57
2.1.3 Probabilidad en espacios muestrales 59

UNIDAD III
MUESTRAS ALEATORIAS
Objetivos 62
3 Muestras aleatorias 63
3.1 Definición 63
3.2 Estadígrafo 66
3.2.1 Esperanza 66
3.2.2 Promedio 70
3.2.3 Representación Grafica de los datos 88
3.2.4 Varianza 106

UNIDAD IV
VARIABLES ALEATORIAS
Objetivos 114
4 Variables aleatorias 115
4.1 Unidimensinales 115
4.2 Discretas y continuas 119
4.2.1 Distribución binomial 119
4.2.2 Distribución normal 126

INTRODUCCION

La Subsecretaría de Educación Media Superior y Superior a través de la Subdirección de Educación Media Superior y Superior, a implementado acciones con el propósito de elevar el nivel académico de los alumnos, dentro de estas acciones ubicamos la elaboración de la presente Antología de Estadística.

Actualmente, la estadística encuentra aplicación en casi todas las áreas de la ciencia, por lo que se ha convertido en una herramienta indispensable para los alumnos del Nivel Medio Superior y Superior en la realización de cualquier investigación.

Por esta razón el motivo primordial de este trabajo es facilitar al alumno el proceso de aprendizaje de la probabilidad y la estadística; Desde la introducción a la probabilidad, las nociones básicas de conteo, los espacios muestrales, las muestras aleatorias y el uso de las variables aleatorias para que en su conjunto encuentre en la estadística una herramienta para el estudio y la solución de problemas. Requiriendo solo como conocimientos previos estudios elementales de Aritmética y Álgebra.

De esta forma la Antología ha sido diseñada en cuatro unidades a la par con las cuatro unidades que se establecen en el plan de estudios de este curso. Para utilizarse como una bibliografía auxiliar por los profesores.

OBJETIVOS GENERALES CON
ENFOQUE EN EL PLAN DE ESTUDIOS


1. Seleccionar apropiadamente las técnicas que le permitan resolver problemas.

2. Identificar el objeto o la problemática a resolver, para luego elegir las herramientas a utilizar.

3. Lograr una conceptualización adecuada de los objetos y principios de la probabilidad para llegar al planteamiento y solución de problemas.


4. Usar adecuadamente herramientas, calculadora y computadora en la solución de problemas.












UNIDAD 1
NOCIONES PRELIMINARES


Objetivos: Al finalizar el alumno será capaz de:
• Identificar los objetos de estudio y principios fundamentales de la probabilidad.
• Recordar los conceptos algebraicos de uso continuo.
• Identificar las nociones básicas de conteo.


1.1 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

1.1.1 La probabilidad estadística


Bosquejo histórico.

Probabilidad, rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían hecho importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática surgió como un intento de responder a varias preguntas generadas por los juegos de azar (los juegos de azar comenzaron a tener gran importancia entre la aristocracia desde el siglo XIII). “Jocob Bernoulli desarrolló una teoría sistemática, también Abraham de Moivre y Simón de Laplace contribuyeron con ingenio al desarrollo de esta parte de las matemáticas”. (L. RAMÍREZ G., p. 1).

En la actualidad la teoría de la probabilidad es una herramienta valiosa ya que permite dar solución a problemas en múltiples áreas como son: Ingeniería, Ciencias, Matemáticas, Medicina, Administración de Empresas, Agricultura, determinación de pólizas de seguros, en decisiones de negocios, para la ubicación mas adecuada de un supermercado, en el control de calidad de artículos de producción en grandes cantidades.

1.1.2 Estudio básico de probabilidades

El concepto intuitivo de la probabilidad, por medio del cual una persona toma decisiones sin la certeza de que ocurran todos sus supuestos, es la base de un estudio sistemático que permite incrementar el grado de confianza que se puede tener en una decisión.

La probabilidad (relación entre el número de resultados de éxito respecto al total de resultados posibles) puede ser objetiva y subjetiva. La primera es el resultado del cálculo, mientras que la subjetiva solo refleja la percepción de quien la emite.

La probabilidad objetiva, bajo el enfoque clásico supone que todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Esta es la relación entre el número de eventos señalados como exitosos, respecto al total de eventos posibles; por ejemplo si en una caja hay manzanas y limas, la probabilidad de que al tomar una fruta ésta sea manzana es:







La probabilidad objetiva bajo el enfoque de frecuencia relativa define la probabilidad como la relación entre el numero de eventos favorables obtenidos, respecto al total de intentos; por ejemplo, si de una caja que contiene manzanas y limas se ha tomado frutas y de estas han sido manzanas, se deduce que, al sacar una fruta de esa caja, la probabilidad de que sea manzana es:



Donde:
n = son eventos exitosos
N = Número de intentos
P = Probabilidad


La probabilidad subjetiva o de juicio personal es una forma de cuantificar, por medio de factores de ponderación individuales, la probabilidad de que ocurra cierto evento, cuando es posible cuantificarla de otra manera más confiable.

De acuerdo a lo anterior, la probabilidad se calcula aplicando la regla de Laplace, en donde la forma matemática de representar a la probabilidad es la siguiente:

P[S] = número de sucesos elementales de S / número total de sucesos elementales
La expresión anterior se suele expresar del siguiente modo:





La probabilidad puede expresarse también en términos de porcentaje, lo cual puede resultar comprensible. En el ejemplo del párrafo anterior, puede multiplicarse por para obtener el porcentaje de probabilidad, es decir, ( ) ( ) = %.


En cualquier caso es fundamental que la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles sea ó %






La escala de la probabilidad
100%

80%

60%

40%

20%

0%

Obtener una o más águilas, al lanzar monedas ( %).
No obtener la cara tres, al lanzar un dado ( %).
¿Será niña? ¿O niño? ( %).
Obtener la cara , al lanzar un dado ( %).
Obtener águilas, al lanzar monedas ( %).



Otra consideración importante es que la probabilidad de un resultado se representa con un número entre y . La probabilidad indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad , que el resultado ocurrirá siempre. Es decir que si la probabilidad de que ocurra un evento es P, la probabilidad de que no ocurra es: Q = – P


Continuando con el mismo ejemplo, si la probabilidad de que la fruta sea manzana es , la probabilidad de que la fruta no sea manzana es . Este último valor es equivalente al 84%.



Ejemplo 1

Determinar la probabilidad , de obtener águila en un solo lanzamiento de una moneda.

Una moneda tiene dos posibilidades las cuales tienen la misma probabilidad de aparecer; si cáe águila el evento es exitoso, por lo que ; el total de posibilidades es dos, por lo que .

La fórmula de la probabilidad es


Por lo tanto



Ejemplo 2

Determinar la probabilidad de obtener el número en una sola tirada de un dado.

Un dado tiene caras numeradas del al y todas tienen la misma probabilidad de aparecer, por lo cual el total de posibilidades es ; de las seis posibilidades si cae el evento es exitoso, por lo que .
Fórmula:







Ejemplo 3

Determinar la probabilidad de obtener un en una sola extracción de una baraja de cartas.


La baraja esta dividida en cuatro grupos (diamantes, corazones, tréboles y espadas) cada grupo de cartas, numeradas del al más J, K , y Q..


Dado que se tienen en total cartas todas tienen la misma posibilidad de aparecer, por lo que ; como se tienen cuatro grupos, se tienen entonces cuatro de cada una que determinan el evento exitoso, por lo tanto

Fórmula:


Ejercicios

1. La probabilidad de aparición de un número par en una tirada de un dado equilibrado.

2. La probabilidad de un as, el diez de diamantes o el dos de corazones en una sola extracción de una baraja de 52 cartas.

3. La probabilidad de 7 puntos en una sola tirada de un par de dados.

4. La probabilidad de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules se extráe una al azar. Determinar la probabilidad de que sea (a) roja, (b) blanca, (c) azul, (d) no roja, (e) roja o blanca.

5. Determinar la probabilidad p o un estimador de ella, para cada uno de los siguientes sucesos:

a) Extracción de un baraja de 52 cartas de un rey, as, sota de tréboles o reina de diamantes en una sola extracción.
b) La aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 8 puntos.
c) Un cerrojo no defectuoso a extraer de una población, si de 600 ya examinados, 12 fueron defectuosos.
d) La aparición en una sola tirada de dos dados de la suma 7 u 11.
e) La aparición de al menos una cara en tres lanzamientos de una moneda.

6. Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjas. Hallar la probabilidad de que sea (a) naranja, (b) no roja o azul, (d) blanca, (e) roja, blanca o azul.
7. Un psicólogo tiene 100 ratas entrenadas para correr a través de un laberinto: 25 fueron
entrenadas para correr hacia la izquierda, 50 parta correr hacia el frente y 25 para hacerlo hacia la derecha. Suponiendo que el psicólogo elige al azar una rata y la suelta en el laberinto. ¿cuál es la probabilidad de que corra?
a) hacia la derecha
b) hacia la izquierda
c) hacia el frente
8. Suponer que se cruzan dos flores rosadas híbridas (los genes de cada flor contienen un cromosoma rojo y uno blanco). ¿Cuál es la probabilidad de obtener?
a) flores blancas
b) flores rojas
c) flores rosadas
9. Una persona mete la mano a su bolso para extraer una moneda en forma aleatoria si el bolso contiene dos monedas de un peso, dos monedas de cinco pesos y tres monedas de diez pesos. ¿ Cuál es la probabilidad de extraer?
a) dos monedas de un peso
b) una moneda de cinco y una de diez pesos
c) por lo menos una de diez pesos

1.2 Experimentos no determinísticos

Es muy frecuente escuchar que las personas usan frases con la palabra “probable” para diferentes situaciones en las cuales no se puede asegurar si ocurrirán o no, por ejemplo:


“Es probable que salga de vacaciones”
“Existe la posibilidad de ganar un premio en la rifa”
“Es probable que no llueva”


En todas las situaciones anteriores existe cierta posibilidad de que sucedan pero no se tiene la certeza, es decir existe la incertidumbre de que suceda o no tal hecho.

Puede salir de vacaciones o quedarse sin salir. En este caso se observan dos posibles resultados y no se sabe cual ocurrirá. A estos fenómenos se les conoce como aleatorios.


El cálculo de probabilidades estudia desde el punto de vista matemático la noción de azar y las leyes de los acontecimientos aleatorios.

Todos los hechos y fenómenos existentes se pueden clasificar en deterministas y aleatorios (no deterministas).

Cuando un hecho o fenómeno es determinista únicamente proporciona un resultado y es invariable, por ejemplo en las combinaciones químicas, las leyes gravitacionales que describen exactamente lo que sucede a un cuerpo que cae, hay mas ejemplos de “experimentos” en la naturaleza que son deterministas, ellos se estudian con modelos deterministicos (como las fórmulas que en Matemáticas, Física y Química conocemos).

Ejemplo 1

Si tenemos un billete de lotería formado por seis dígitos, todos los números que se forman con los seis dígitos tienen la mima probabilidad de ser el número ganador. El número ganador no obedece a una condición lógica si no el producto del azar, o dicho de otra manera un golpe de suerte.

El que un número salga premiado una vez no quiere decir que siempre saldrá ganador o también podría ser que salga ganador en el siguiente sorteo o no volver a ser ganador o pasa mucho tiempo para poder ser ganador.


Sin embargo, hay también otros fenómenos como ya se ha señalado, los no deterministas o aleatorios que son los que ofrecen dos o más resultados; como en los sorteos y rifas.

Ejemplo 2
Si lanzamos una moneda al aire al caer existen dos resultados posibles: que caiga “águila” o “sol”. Esto indica que hay una posibilidad de un total de dos eventos posibles.

Ejercicios

Eventos no determinísticos

1. Explica la diferencia entre un fenómeno determinista y un fenómeno aleatorio.

2. Plantea 5 fenómenos determinísticos y calcula su probabilidad de ocurrencia.

3. Plantea 5 fenómenos aleatorios y calcula su probabilidad. fenómeno aleatorio,

4. ¿Qué estudia la probabilidad?

5. ¿Qué significa la palabra evento en el cálculo de probabilidades?


1.3 Frecuencias relativas y absolutas

La probabilidad estimada o empírica, de un suceso, se puede determinar como la frecuencia relativa con la que ocurre si el número de observaciones es muy grande. La probabilidad sería el límite de esa frecuencia relativa cuando el número de observaciones crece indefinidamente.

Para comprender lo anterior consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1
Si en 1000 tiradas de una moneda salen 513 águilas, la frecuencia relativa de águilas es , si en otros lanzamientos salen 285 águilas la frecuencia relativa en el total de tiradas es .
De acuerdo con la definición estadística, continuando de este modo nos iremos acercando más y más a un número que representa la probabilidad de que salga águila en una sola tirada de los resultados presentados, esta seria con un dígito significativo.


Ejemplo 2
Considere un experimento donde se tiran dos monedas simultáneamente y se anota el número de águilas que resultan. Los únicos resultados posibles son: cero águilas, una águila y dos águilas. Se tiran las dos monedas veces y se anotan los resultados:



Lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Resultados 2a 1ª 1a 2a 1a 0a 1a 1a 1a 2a




En resumen:


Resultados Frecuencias
2ª 3
1ª 6
0a 1



Supóngase que este experimento se repite otras veces. En la siguiente tabla se muestra los totales para conjuntos de tiradas (Por ejemplo en el ensayo muestra los totales del primer experimento.)




Ensayo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total
R1 2 a 3 3 5 1 4 2 4 3 1 1 2 5 6 3 1 4 1 0 3 1 53
R2 1 a 6 5 5 5 5 7 5 5 5 5 8 4 3 7 5 1 5 4 5 9 104
R3 0 a 1 2 0 4 1 1 1 2 4 4 0 1 1 0 4 5 4 6 2 0 43


En el total de los lanzamientos del par de monedas se obtuvo el resultado de dos águilas en ocasiones, un águila en y cero águilas en

¿Qué sucede si esté experimento se repite o continúa?, ¿Cambiarían las frecuencias relativas? En caso afirmativo, ¿cuánto? Si se observan los conjuntos individuales de lanzamientos, se nota una gran variación en el número de veces que ocurre cada uno de los eventos (2a,1a y 0a). En la categoría 0a y 2a las ocurrencias máximas y mínimas fueron iguales a seis y cero, respectivamente. Por otra parte, en la categoría 1a el número menor de ocurrencia fue igual a uno, y el mayor igual a nueve.

Si este experimento continuase por varios cientos de tiradas adicionales, ¿Qué se espera que suceda en relación con las frecuencias relativas de esos tres eventos? Parece que se tiene una proporción aproximadamente igual a 1:2:1 es decir, 1 a 2 (43 a 104) y de 2 a 1 de (104 a 43) en los totales de la tabla. Por lo tanto puede esperarse encontrar que la frecuencia relativa para el evento 0a es aproximadamente igual o bien %; o bien % para 1a, y o bien % para 2a. Estas frecuencias relativas reflejan el concepto de probabilidad de manera precisa.
La probabilidad en términos de frecuencia relativa es práctica pero tiene una desventaja matemática, de que el límite puede no existir.


Ejercicios

1. Calcula la probabilidad en tu comunidad de que al nacimiento de un bebe este sea:
a) Varón
b) Mujer.

2. cual es la probabilidad de que una tortuga viva.
a) 100 años
b) tiene 40 años y viva 50 más
c) tenga 80 y viva 120 más

3. Cual es la probabilidad de escoger al azar un número real del intervalo
a) 0,1
b) 4,9
c) 0,10

1.4 Nociones básicas de probabilidad

Probabilidad de uniones e intersecciones

Si queremos determinar la probabilidad de que aparecía el número 2 en un lanzamiento de un dado, tendremos:

en donde n = 1 y es el evento exitoso dado que el dado solo tiene una cara con número 2 y N = 6 por que son 6 posibilidades ya que cualquier cara del dado puede aparecer por lo tanto.



De esto concluimos que si el evento es exitoso entonces la probabilidad se denomina P {E} que es probabilidad de que ocurra el evento E y el total de posibilidades es el espacio muestral que se denomina S.

Si deben ocurrir dos eventos E1, y E2, la probabilidad de que ocurra E2 cuando haya ocurrido E1 se denota por P {E2/E1} o P {E2 dado E1}, y se llama probabilidad condicional de E2 dado E1.

Si tenemos algunos documentos en una caja la cual esta cerrada con llave y los queremos extraer, entonces, primero tenemos que abrir la caja y después extraer los documentos; por tal razón, abrir la caja es E1 y extraer los documentos es E2.

Como no podemos extraer los documentos sin abrir la caja decimos que se trata de eventos dependientes, esto es para que ocurra E2 tiene que ocurrir primero E1, si el evento E2 ocurre sin que sea necesario que ocurra E1, entonces son sucesos independientes, las expresiones matemáticas serán:

P {E1E2} = P{E1} . P{E2/E1} sucesos dependientes

P {E1E2} = P{E1} . P {E2} sucesos independientes

Ejemplo 1
La probabilidad de que Juan viva 80 años es 0.8 y la probabilidad de que José viva 80 años es de 0.6


La probabilidad de que ambos vivan 80 años es:
En este caso se trata de sucesos independientes, ya que lo que ocurra a Juan no le afecta a José y lo que le ocurra a José no le afecta a Juan.

Sea E1= Juan = 0.8
E2 = José = 0.6



P{E1E2} = P{E1} . P{E2}
P{E1E2} = (0.8) (0.6) = 0.48 = 48%




Ejemplo 2
Supóngase una caja que contenga 5 bolas rojas y 3 bolas amarillas. Si E1 es el suceso de que la primera bola extraída sea roja y E2 es el suceso de que la segunda bola extraída sea roja en extracciones sin reemplazamiento.

La probabilidad de que ambas bolas sean rojas es:

En este caso se trata de sucesos dependientes, ya que para que E2 sea roja, primero E1 tiene que ser roja.


P {E1} =

n = 5 ya que son 5 bolas rojas

P { E1} =

N = 5 + 3 ya que son el total de bolas.

P { E2/ E1} =

n = 4 ya que se extrajo una bola roja.


P { E2/ E1} =

N = 4+3 ya que solo quedan 4 bolas rojas en la caja.

P{E1E2} = P{E1} . P { E2/ E1}
P { E2 E1} =
Ejemplo 3

Supongamos que estamos participando en un sorteo en el cual el premio es una cantidad fija de dinero o un auto. En dicho sorteo tenemos dos posibilidades de ganar, ganamos el dinero o el auto, pero no podemos ganar las dos cosas con el mismo boleto.

Por lo tanto, si ganamos el dinero ya no podemos participar por el auto, y si ganamos el auto ya no podemos participar por el dinero; a esta relación se le denomina sucesos mutuamente excluyentes.


Entonces, dos o más sucesos se dicen mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos imposibilita la ocurrencia de los otros. Así, si el evento E1 y el evento E2 son mutuamente excluyentes P{ E1E2 } = 0 si E1 + E2 denota el suceso de que ocurra E1 ó E2 ó ambos:


P{ E1 E 2 } = 0 . P{ E2} P{ E1 E 2 } = P{ E1} . 0
P{ E1E2 } = 0 P{ E1E2 } = 0



P{ E1 + E 2 } = P{ E1} + P{E2} – P{ E1E2 } sucesos no mutuamente excluyentes y para sucesos mutuamente excluyentes P{ E1 + E 2 } = P{ E1} + P{E2}




Ejemplo 4
Si el suceso E1 es extracción de un as de una baraja de 52 cartas y el suceso E2 es extracción de un rey, determinar la probabilidad P{ E1 + E2 } si se hace una sola extracción.

Dado que una sola extracción no se pueden sacar el as y el rey al mismo tiempo, entonces se tiene que son sucesos mutuamente excluyentes por lo que se tiene:
P{ E1 + E2 }= P{ E1} + P{E2}

Para E1 P{E1}=
n = 4 ya que la baraja tiene 4 ases, los cuales determinan el evento exitoso N = 52 cartas y todas tienen la misma posibilidad de salir
P{ E1}=



Para E2
P{E2 }=
n= 4

N = 52

P{ E2 }=




Sea E1 el suceso número impar en una tirada de un dado y E2 el suceso número 3 en la tirada de un dado determinar P{ E1 + E2 }

Estos sucesos no son mutuamente excluyentes por que el número 3 es número impar, por tal motivo si cae 3 se estarán realizando los dos eventos, entonces;

P{ E1 + E2 }= P{ E1} + P{ E2 } - P{ E1E2 }


Para E1 P{E1}=

P{ E1}=
n = 3 ya que el dado tiene 3caras con número impar (1,3,5) N=6 por que son 6 caras las del dado y todas tienen la misma posibilidad de salir.

Para E2
P{E2 }=

P{ E2 }=

n = 1 ya que solo se tiene un número 3.

N = 6 por las 6 caras del dado.


Para P{ E1 E2 }
Estos son sucesos independientes por que puede aparecer cualquiera de los dos

P{ E1 E2 } = P{ E1 }P{ E2}

P{ E1 E2 } =

Por lo tanto

P{ E1 + E2 } =

P{ E1 + E2 } =

Ejercicios:

1) Un dado se lanza dos veces. Hallar la probabilidad de obtener 4, 5 o 6 en el primer lanzamiento y 1, 2, 3 o 4 en el segundo.

2) Se hacen dos extracciones de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad que las dos cartas extraídas sean ases, siendo las extracciones a) con remplazamiento, b) sin remplazamiento.

3) Hallar la probabilidad de obtener al menos un cuatro en dos lanzamientos de un dado.

4) Hallar la probabilidad de conseguir un total de siete puntos a) una vez, b) al menos una vez, c) dos veces en dos lanzamientos de un par de dados.

5) Entre los 200 profesores del departamento de matemáticas hay 150 titulados, 60 del total dedican parte de su tiempo a trabajos de álgebra lineal y 40 de los 150 titulados dedican parte de su tiempo a trabajos de álgebra lineal. Si se toma al azar uno de estos profesores. ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea titulado y NO trabaje álgebra lineal?

6) Clasifica el personal de tu escuela por edades, sexo y adscripción a la administración, cuerpo docente o personal de apoyo. Si se seleccionara una persona al azar obtenga la probabilidad de que el elegido sea:
a) menor de 35 años, y sea hombre
b) no sea miembro del cuerpo docente, mayor de 20 años
c) sea del personal de apoyo y tenga 40-45 años
7) en un juego con dos dados se gana en la primera tirada si se obtiene una suma igual a siete u once y se pierde si la suma es igual a dos, tres o doce ¿cuál es la probabilidad?
a) ganar al primer lanzamiento
b) perder en el primer lanzamiento
8) Un experimento consiste en sacar tres cartas sucesivamente de una baraja bien mezclada. Si E1 el suceso “rey” en la primera extracción, E2 el suceso “rey” en la segunda extracción y E3 el suceso rey en la tercera extracción. Calcula la probabilidad:
a) con reposición
b) sin reposición
9) Hallar la probabilidad de que salga la menos un 4 en dos tiradas de un dado.


1.2 NOCIONES BÁSICAS DE CONTEO

1.2.1 Permutaciones

Notación Factorial como antecedente

Es el producto de n enteros consecutivos comenzando con el 1 aparece con frecuencia en matemáticas. El símbolo usado con este propósito se define de la manera siguiente.


Si n es cualquier entero positivo, el producto de los enteros de 1 a n inclusive se designa con n! (léase “n factorial” o “factorial de n”).
En símbolos, n! = 1.2.3….n




De acuerdo con esta definición, tenemos como ejemplos.


0! = 1 1! = 1 2! = 1.2 3! = 1.2.3 4! = 1.2.3.4


Ejemplo 1

Simplifique la fracción 7! / 4!

Solución

7!/ 4! = 1.2.3.4.5.6.7
1.2.3.4

7!/ 4! = 1.2.3.4.5.6.7
1.2.3.4

7!/ 4! = .5.6.7 = 210


Permutaciones

Una permutación de un número de objetos es cualquiera de los diferentes arreglos de esos objetos en un orden definido.

Si n P r es el número de permutaciones de n objetos tomados de r en r, entonces




Lo anterior se puede establecer con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1
Si se determinan del conjunto A = {a,b,c}, todas las permutaciones posibles, el resultado sería.

1 {a,b,c}
2 {a,c,b}
3 {b,a,c} 4 {b,c,a}
5 {c,a,b}
6 {c,b,a}


Las permutaciones se obtienen calculando el factorial del número de elementos del conjuntos; en este caso el conjunto tiene 3 elementos, de donde; la fórmula es Pr = n!, por lo que P3 = 3! = 1.2.3. = 6, que es el resultado anterior; en general, Pn = n! (cuando n = r)



Ejemplo 2
¿Cuántas permutaciones hay de 6 objetos distintos, tomados de cuatro en cuatro? El símbolo que comúnmente se emplea para representar este número es 6 P 4 y es igual a 6.5.4.3. Obsérvese que 6.5.4.3 es

=

Ejemplo 3

¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 personas en un cuarto que se tienen 9 sillas?


Como sólo se van a ocupar 4 sillas, necesitamos encontrar el número de permutaciones de 9 objetos tomados de cuatro en cuatro. Usando la siguiente fórmula





Nos quedaría


Nota: Observe que los ejercicios anteriores se realizaron con objetos diferentes y a continuación se muestran cuando existe repetición de algunos. Por lo tanto la fórmula a emplear es la siguiente .



Ejemplo 1

¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las 9 letras de la palabra TENNESSEE?
Hay dos letras S, dos letras N y cuatro letras E. Por tanto,






Ejemplo 2

Se distribuye entre 10 niños tres dieses y ¿De cuantas maneras diferentes se pueden beneficiar los niños si cada uno va a tener una moneda?


Si las monedas fueran diferentes , todas, habría 10! Maneras en las cuales cada niño podría obtener una moneda, pero como hay grupos de 1,2,3 y 4 monedas iguales, tenemos.




Ejercicios.

1.- Evalúe a) 7P1, 7P3, 7P4, 7P7.

2.- Encuentre el número de permutaciones, cada una con 6 letras, que se pueden hacer con las letras distintas entre sí que aparecen en a) MEXICO b) MURCIÉLAGO c) ROMÁNTICO.

3.- Cinco diversos libros de matemáticas, 4 diferentes libros de física y 2 libros distintos de historia se van a colocar en un librero con los libros correspondientes a cada materia. Encuentre el número de maneras en las que se pueden colocar los libros.

4.- Encuentre el número de permutaciones que se pueden formar usando todas las letras
a) CHIHUHUA, b) CUAUTLA, c) CUECUECUAUTITLA.

5.- ¿De cuantas maneras es posible que 10 clientes compren 5 latas de chíncharos, 3 de piña y 2 de jitomate, si cada cliente obtiene una lata.
6.- ¿ De cuantas formas se pueden arreglar las letras de la palabra número (usando las 6 letras)?
7.- ¿cuántos números de placas de automóvil es posible formar con una letra seguida de seis dígitos, suponiendo que se puede utilizar cualquier letra o número?
8.- ¿cuántas son la palabras de tres letras que se pueden formar con las letras de la palabra murciélago?
9.- Si hay 5 caminos para ir del pueblo A al pueblo B, y tres del pueblo B al pueblo C.
a) ¿cuantos itinerarios diferentes se pueden formar para ir del pueblo A al C, pasando por el pueblo C?
b) ¿cuántos para ir del pueblo C al A pasando por el B?
c) ¿cuántos son los posibles itinerarios para hacer un viaje del pueblo A al C, pasando por B y regresando a A pasando por B?
10.- Una muchacha tiene cinco blusas y seis faldas. Suponiendo que ella acepta cualquier combinación de esas prendas. ¿cuántas diferentes combinaciones de falda y blusa puede formar?

1.2.2 Combinaciones


Una parte o la totalidad de un conjunto se llama combinación. Esta difiere de una permutación en que no importa el orden de selección o el arreglo de los miembros. Por ejemplo: El Interés en un comité seleccionado de un grupo radica en los individuos más que en un arreglo de ellos. Cuando todos los objetos de un conjunto se toman a la vez, hay, por supuesto, solo una combinación. Sin embargo una parte de un conjunto de objetos se puede escoger de más de una manera. Estamos interesados en aprender cómo determinar el número de combinaciones en situaciones del último tipo.


Las letras a, b, c y d tomadas de tres en tres tienen las combinaciones.



a b c a b d a c d b c d



Cambiar el orden de una de estas combinaciones no forma una nueva combinación; así a b c y b c a son dos permutaciones de una combinación simple.

Ahora consideraremos el caso general del número de combinaciones de n objetos tomados de r en r denotada como nCr.

La fórmula para calcular el número de combinaciones de n objetos tomados de r en r es la siguiente:





Ejemplo 1

¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de 18 personas si éste debe tener:

a) tres integrantes
b) catorce integrantes


:

a) Deseamos encontrar el número de combinaciones de 18 objetos tomados de tres en tres por lo tanto







c) Deseamos encontrar el número de combinaciones de 18 objetos tomados de catorce en catorce, por lo tanto:








Ejemplo 2

¿De cuántas maneras se pueden contratar 7 maestros de matemáticas de 10 solicitudes de hombres y 7 solicitudes de mujeres si:


a) 3 maestros necesitan ser hombres
b) 3 ó 4 maestros deben ser hombres




a) Los tres hombres es posible escogerlos de 10 C 3 maneras diferentes; los 4 restantes se pueden escoger de las solicitudes femeninas 7 C 4 maneras, por lo tanto:









b) Para encontrar el número de maneras de ocupar las vacantes con tres o cuatro hombres, sumamos el número de maneras de ocupar las vacantes con tres hombres y cuatro mujeres al número de maneras de emplear cuatro hombres y tres mujeres: esto es:





Ejemplo 3

¿De cuántas maneras se pueden formar diferentes sumas de dinero, escogiendo una o más monedas de cuatro monedas de valores diferentes?



Es posible escoger una moneda, dos monedas, tres monedas o cuatro monedas; por lo tanto nos queda: 4

Ejercicios

1. Se arrojan simultáneamente 7 monedas. ¿De cuántas maneras pueden caer tres soles y 4 águilas?

2. ¿De cuántas maneras puede una corte de 9 jueces tomar:
una decisión de 5 contra 4?
Una decisión por mayoría

3. Un comité de 7 personas debe estar compuesto por 4 republicanos y 3 demócratas; Encontrar el número de selecciones si para el nombramiento están disponibles 7 republicanos y 8 demócratas

4. Encontrar el número de maneras de seleccionar 9 pelotas de 6 pelotas rojas, 5 blancas y 4 azules. Si cada selección consiste en 3 pelotas de cada color.

5. Encuentre cuántas sumas de dinero, cada una en tres o más monedas se pueden formar con 6 diferentes tipos de monedas.

6. ¿En cuantas formas diferentes una mano de 5 cartas puede contener 4 de una misma clase (igual número o figura) de un mazo de 52?

7.¿Cuántos matrimonios diferentes se pueden efectuar entre 5 hombres y 7 mujeres?

8. cuatro parejas van a ir juntas al teatro y compraron boletos para 8 asientos de la misma fila.¿de cuantas formas diferentes se pueden colocar las cuatro parejas sin que alguna quede separada?

9.El automóvil de Tomás tiene tres asientos en la parte delantera y tres en la parte de atrás. ¿de cuantas formas diferentes se pueden colocar 6 pasajeros, si tomas ocupa el lugar del chofer y Sara la novia de Tomás se sienta junto a el?

10. ¿De cuantas maneras un equipo de básquetbol puede agruparse en torno a su entrenador para recibir ordenes?
1.2.3 Diagrama de árbol

Determinar de cuántas formas posibles se pueden acomodar 5 personas o de cuántas formas puede caer un dado, puede resultar una actividad laboriosa además de que se pueden cometer errores.

Aunque en algunos problemas citar los posibles sucesos puede parecer sencillo, no siempre es el caso. Una estrategia práctica y efectiva de contar eficientemente, puede ser trazar un diagrama de árbol, que muestre para cada caso las posibles alternativas de combinaciones con relativa facilidad.

Ejemplo 1
Supongamos que deseamos sentar a cuatro personas en una banca. ¿En cuántas formas posibles podemos acomodar a estas cuatro personas?

Primeramente designamos a las personas como a, b, c y d. Para designar el número total de ordenaciones diferentes en que se pueden sentar a las personas consideremos el número de formas para ocupar el primer sitio.

¿Pueden a, b, c ó d ocupar el primer asiento?

¿De cuántas formas se puede ocupar el segundo?

Supongamos que a ocupa el primer asiento ¿De cuántas formas se puede ocupar el segundo?

Si b ocupa el primer asiento ¿De cuántas formas se puede ocupar el segundo?
¿Existe el mismo número de colocaciones diferentes para ocupar el segundo asiento, si c ocupa el primero?
¿Y si d está en el primer sitio?
Existen 3 + 3 + 3 + 3 = 12 formas de ocupar el primer y segundo asientos. Como se muestra en el siguiente diagrama.

















Supongamos que a ocupa el primer asiento y b el Segundo. ¿De cuantas maneras diferentes se puede ocupar el tercero?

¿Cuántas formas distintas hay para ocupar el tercer asiento si a ocupa el primero y c el segundo?

¿Cuántas hay si b esta en el primero y a en el segundo?
¿De cuántas maneras diferentes se puede ocupar el tercer asiento para cada una de las doce formas después de ocupar el primero y el segundo?

A continuación se presentan las 24 formas diferentes para ocupar los tres primeros asientos.







































Por último si a, b y c están en el primero segundo y tercer asientos respectivamente ¿cuántas formas diferentes hay para ocupar el cuarto asiento? ¿Cuántas para el cuarto si los primeros tres están ocupados por c, b y a en ese orden? Para cada una de las 24 maneras de ocupar los tres primeros ¿cuántas formas existen para ocupar el cuarto? En el diagrama de árbol siguiente se presentan las 24 formas de ocupar los cuatro asientos.



































Ejemplo 2
Si en una caja hay cuatro canicas (azul, negra, roja y verde). Si se extraen de la caja dos de ellas ¿de cuántas formas pueden aparecer?

Solución grafica:

Primera canica Segunda canica Orden



Negra AN

Azul Roja AR

Verde AV


Azul NA

Negra Roja NR

Verde NV


Azul RA

Roja Negra RN

Verde RV

Azul VA

Verde Negra VN

Roja VR




• Aplicando la fórmula de permutaciones.

Formas

Ejemplo 3
Es común que el número de objetos sea limitado pero cuando los objetos pueden ser seleccionados en repetidas ocasiones, se conoce como reemplazo, como en el ejemplo siguiente.

El equipo de la preparatoria enfrentará a otros cuatro equipos en un torneo selectivo, los posibles resultados son ganar o perder ¿Cuáles serán en total los resultados posibles del equipo de la escuela?





















Ejercicios:

1.- De cuantas formas pueden sentarse 5 personas en una banca.

2.- ¿De cuantas formas puede caer una moneda si se lanza cuatro veces al aire?

3.-¿De cuántas formas diferentes pueden ocuparse una gerencia y una subgerencia si existen ocho candidatos que pueden ocupar indistintamente la gerencia o la subgerencia?

4.-En un zoológico se exhibirán en ocho jaulas cinco leones numerados del 1 al 5 tres tigres enumerados del 1 al 3. ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse? Si los tigres deben estar en jaulas contiguas. ¿De cuántas formas podrán exhibirse los tigres y leones?

UNIDAD II



EL ESPACIO MUESTRAL


Objetivo: al finalizar la unidad el alumno será capaz de conceptuar la idea de espacio muestral y los elementos de la probabilidad axiomática en la resolución de problemas.

2.1 ESPACIOS MUESTRALES
2.1.1 El espacio muestral

Consideremos los siguientes ejemplos de experimentos no determinísticos (conocidos también como fenómenos aleatorios) y sus posibles resultados:

Ejemplo 1
Si lanzamos un dado y observamos que cara cae, podemos esperar los siguientes resultados:

“caiga un 1”
“caiga un 2”
“caiga un 3”
“caiga un 4”
“caiga un 5”
“caiga un 6”

Ejemplo 2
Consideremos una caja con tarjetas, tres negras y cinco blancas, y el experimento: meter la mano, sacar una tarjeta y anotar su color. Los posibles resultados son:
“salga una tarjeta blanca”
“salga una tarjeta negra”

En los ejemplos anteriores podemos observar que, es posible repetir cada experimento muchas veces sin cambiar esencialmente las condiciones; aunque en general no podemos indicar cuál será un resultado particular, es decir un evento, si podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles. A este conjunto se le llama espacio muestral.

2.1.2 ESPACIOS MUESTRALES FINITOS

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Usualmente se designa con la letra S.

Ejemplos:
1) En el experimento “lanzar una moneda”

S =  águila, sol 

2) En el experimento “lanzar un dado”
S =  1,2,3,4,5,6 

3) De una suma que contiene sólo esferas negras, se escoge una esfera y se anota su color
S = esfera negra 

Los experimentos pueden ser de una variedad más amplia, como los siguientes:

Ejemplos:
1) Se observa el día de la semana que ocurre un accidente de automóvil.

S =  lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo


2) Registrar las formas o composiciones hombre-mujer que se pueden dar en las familias con dos hijos.

S = HH,HM,MH,MM 

Para describir un espacio muestral asociado a un experimento, debemos tener una idea muy clara de lo que medimos u observamos.

El resultado de un experimento no siempre es un número, pueden ser sucesiones de caras o colores, etc. También es importante saber que el espacio muestral puede ser finito o infinito. Por ejemplo: se fabrica una bombilla. Luego se prueba su duración poniéndola en un porta lámparas y se anota el tiempo transcurrido (en horas) hasta que se quema.
Entonces S = t / t  0

2.1.3 PROBABILIDAD EN ESPACIOS MUESTRALES

Para decidir quién será el representante de un equipo escolar, cada uno de sus cuatro miembros escribió su nombre en un pedazo de papel y lo depositó en una caja de cartón. El profesor revolvió los papeles, cerró los ojos y extrajo de la caja uno de los papeles escritos. La persona indicada en este sería la elegida.



¿Cuál es la probabilidad de que Juan sea seleccionado?

Es lógico suponer que todos los resultados son igualmente probables. Es decir, que cada nombre tiene la misma oportunidad de ser extraído. Si recordamos, podemos calcular la probabilidad como:

Casos exitosos/casos totales

Los casos totales serían todos los posibles resultados que se obtienen al meter la mano y extraer un papel, el espacio muestral asociado es:

S = MARIA, JUAN, DAVID, ALICIA

Por lo tanto P(Juan sea seleccionado)

Consideremos el experimento lanzar tres monedas una sola vez, calcular la probabilidad de obtener un águila.

En este tipo de experimento es conveniente dar todo el espacio muestral para observar cuántos casos favorables existen, es decir cuántas posibilidades existen de que caiga un águila.

S = AAA,AAS,ASA,SAA,SSA,SAS,ASS,SSS

Entonces P(un águila)=


Ejercicios:
1. Supongamos que de los dos dígitos en {1,2,3,5,7} se toman al azar para formar números de dos dígitos. Listar todos los resultados posibles.

2. Considere el ejercicio 1 y calcule la probabilidad de que un 5, ó un 7, parezcan en el número formado.

3. Si se lanzan al aire dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

4. Si se tiran dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que ambos muestren la cara correspondiente al uno?

5. ¿Cuál es la probabilidad de tirar dos águilas y un sol con tres monedas?

6. Un lote consta de 10 artículos buenos 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que:

a) No tenga defectos.
b) Tenga un defecto grave
c) Que sea bueno o que tenga un defecto grave.

7. Suponga que escogen dos objetos al azar entre cuatro a, b, c, y d sin sustitución.
¿Cómo se le puede representar el espacio muestral?

8. Construir el espacio muestral del lanzamiento de dos dados fieles y obtenga la probabilidad de que x > y, si x es el primer numero del dado 1 ý y correspondiente a los números obtenidos en el dado 2.
UNIDAD III


MUESTRAS Y DISTRIBUCIÓN MUESTRAL



Objetivo. Al finalizar la unidad el alumno será capaz de identificar el significado de muestra y su distribución para la resolución de problemas.

3 MUESTRAS ALEATORIAS

3.1 Definición


Muestra aleatoria
El total de elementos del grupo que se va a estudiar se le llama población. Esta puede ser finita si el conjunto de datos es limitado e infinita si el número de datos es muy grande.

Una muestra es una parte representativa de la población, es decir un subconjunto de de la población. Ésta también puede ser grande si tiene 30 ó más elementos, aunque algunos autores determinan ese número como 25 elementos.

Durante un proceso estadístico pueden clasificarse las variables en dos tipos:

1. Cualitativas. Describen cualidades o atributos de los objetos en estudio.
2. Cuantitativas. Se representan con un valor numérico de una recopilación de datos a través de una medición o conteo. Pueden ser:
3.
a. Discretas. Cuando las características sólo pueden ser representadas por valores enteros, por ejemplo si los datos son personas no pueden ser 3.5 si no 3 ó 4.

b. Continuas. Estas pueden adquirir cualquier valor numérico, por ejemplo si los datos son distancias pueden ser 3.5 kilómetros.


Una muestra aleatoria es aquella que es obtenida de tal forma que todos los elementos de la población tienen la misma posibilidad de ser seleccionados.

Una fórmula para calcular el número de elementos que puede contener una muestra es
:


Tamaño de la muestra que se desea calcular
Número de elementos de la población
Error máximo que se tiene en un intervalo confianza del 95.44%
Ejemplo 1
En una población de 2000 elementos, para un error del 5%


:


Por lo que la muestra debe ser de 20 elementos.

Ejercicios
1. Escribe el concepto de estadística.
2. Escribe la clasificación de estadística.
3. Plantea tres ejemplos de donde se aplique la estadística descriptiva.
4. Cite los tipos de variables y plantee tres ejemplos de cada una de ellas.
5. Escribe los conceptos de población y de variable aleatoria.
6. Calcule la muestra para un estudio en una escuela de 900 alumnos.
7. Plantea una muestra que se evalué con datos cualitativos.
8. Plantea una muestra que se evalué con datos cuantitativos con variables discretas
9. Plantea una muestra que se evalué con datos cuantitativos con variables continuas

3.2 ESTADÍGRAFO

3.2.1 Esperanza

Si p es la probabilidad de que una persona reciba una cantidad s de dinero la esperanza se define como S

Ejemplo 1

La probabilidad que tiene una persona para ganar un premio de 10 pesos es su esperanza matemática es por lo que su esperanza matemática es de 2 pesos.
Para ampliar el concepto de esperanza se puede considerar lo siguiente.
una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores con probabilidades en donde la esperanza denotada como se define como:



Ejemplo 2

Una rifa ofrece dos premios uno de 5000 pesos otro de 2000 pesos, con probabilidades según el boletaje de 0.001 y 0.003 ¿Cuál sería el precio justo para pagar por boleto?



El precio justo a pagar es de 11 pesos.

Ejemplo 3


Un negocio puesto en venta ofrece ganancias de 30, 000 pesos con probabilidad 0.6 y pérdidas por 10,000 pesos con probabilidad 0.4 ¿Cuál será la esperanza matemática para adquirir este negocio?




La esperanza que ofrece este negocio es de 8,000 pesos.



Ejercicios

1.- Determina el precio justo de un boleto para una rifa de un televisor con un costo de 3,000 pesos y una grabadora de costo igual a 1,100 pesos, con probabilidades de 0.4 y 0.6 respectivamente.

2.- Calcula la esperanza matemática del traspaso de un negocio que ofrece ganancias de 10,000 pesos y pérdidas de 5,000 pesos con probabilidades 0.7 y 0.4 respectivamente.

3.- Calcula la esperanza matemática de la distribución de probabilidad siguiente.
X 8 12 16 20 24
P(x)






4.- En una caja hay 5 pelotas 2 blancas y 3 rojas. Cuatro personas designadas como A, B, C Y D, sacan una pelota cada quien sin reponerla. El primero que saque una pelota blanca será premiado con 100 pesos. Determine la esperanza de A, B, C Y D.

5.-¿Cuál es el precio justo para participar en un juego en el que se ganan $25.00 con probabilidad de 0.2 y $10.00 con probabilidad de 0.4?

6.- Si llueve, un vendedor de paraguas gana 30 pesos al día, si no llueve pierde 6 pesos al día. ¿Cuál es su Esperanza Matemática si la probabilidad de que llueva es de 0.3?

7.- A y B juegan a tirar una moneda tres veces gana el primero que saque Águila. Si A lanza primero y la base de la apuesta es $20.00 ¿Cuanto debe poner cada uno para que el juego sea justo?

3.2.2 PROMEDIO

Conceptos estadísticos

La estadística es la ciencia de la recopilación, organización, representación, interpretación y análisis de datos, para la toma de decisiones en algunos problemas.

Para su estudio la estadística ha sido dividida en dos grandes ramas: la estadística descriptiva que se encarga del estudio de las características de un grupo de datos, para conocer los valores que los describen, pueden ser estos algunos promedios, de tendencia central como la media, la moda y la mediana y de dispersión como la varianza y la desviación estándar. La estadística inferencial analiza los datos de una muestra para conocer las características de la población de donde se extrajo la muestra.

En el caso de datos no agrupados, que son que generalmente pueden ser un número reducido de datos, pueden analizarse directamente, pero en casos agrupados es necesario que se construya una distribución de frecuencias.

Distribución de frecuencias
Una distribución de frecuencias es una tabla en donde se organizan y se clasifican los datos para su análisis. Las tablas pueden hacerse para datos no agrupados y datos agrupados, en el primer caso los datos sólo son ordenados y en el segundo caso los datos son clasificados en grupos para su conteo y análisis en ambos casos.

La frecuencia es el número de veces que se repite cada dato o número de elementos que contiene cada clase, se denota por .

Algunos conceptos básicos para hacer distribuciones de frecuencias son, las clases en que serán agrupados los datos, límites de clase, marcas de clase y frecuencia.
Un método sencillo para elaborar las tablas de distribución de frecuencias puede ser el siguiente:

1. Recopilar los datos.
2. Ordenar los datos.
3. Determinar el número de clases.
4. Establecer el ancho de la clase.
5. Implantar los límites de clase.
6. Realizar el conteo de los datos.

Recopilar los datos. La recopilación puede hacerse a través de observación, encuestas, experimentos o investigaciones.

Ordenar los datos. Después de obtener la información se procede a ordenar los datos, pues no es posible analizar los datos de primera vista, una buena opción para ordenarlos es de menor a mayor. a los datos obtenidos de una recopilación se les conoce como datos no agrupados y los que se han ordenado en categorías o clases se les conoce como datos agrupados.

Determinar el número de clases. Para identificar el número de clases es importante primero identificar el tipo de datos que se van a analizar, ya que éstos pueden ser. cualitativos que están caracterizados por cualidades o atributos o cuantitativos con características numéricas.


Datos cualitativos
Ejemplo 1

De datos cualitativos es el color de los automóviles que se encuentran hoy en el estacionamiento de la escuela. Los datos no se agrupan ya que por si solos constituyen una clase.
RECOPILACIÓN DE DATOS
azul Verde negro rojo
rojo Negro rojo verde
azul Amarillo negro blanco
negro Rojo azul blanco
verde Blanco negro rojo

ORDENACIÓN DE DATOS
Azul
Verde
Negro
Rojo
Amarillo
Blanco

CONTEO DE DATOS
CLASES FRECUENCIA

azul lll 3
verde lll 3
negro lllll 5
rojo lllll 5
amarillo l 1
blanco lll 3
Ejemplo 2

En una escuela se realizó una encuesta para saber cómo los alumnos calificaban los alimentos que se expenden en la tienda escolar con los resultados siguientes, en una muestra de 30 personas.

Clases Frecuencia
Buenos IIIII IIIII IIIII 15
Regulares IIIII IIII 9
Malos IIIII II 7




Ejemplo 3

El número de hermanos de cada uno de los compañeros del grupo.


Clases Frecuencia

1 III 3
2 IIIII III 8
3 IIIII IIIII II 12
4 IIIII IIIII IIIII I 16
5 I 1


Datos cuantitativos.

Cuando los datos son cuantitativos se pueden agrupar en clases y calcular los límites de clase y la frecuencia.

Ejemplo 1

RECOPILACIÓN DE DATOS
782 696 987 814 643
1333 832 542 1482 956
515 1052 |1296 1023 1023
1475 700 704 739 784



ORDENACIÓN DE LOS DATOS
515 700 784 987 1296
542 704 814 1023 1333
643 739 832 1023 1475
696 782 956 1052 1482


Para determinar el número de clases por la raíz cuadrada o la raíz cúbica del número de datos o en función de los detalles que se deseen. Para este ejemplo lo haremos con la raíz cuadrada del número de datos.

Número de clases = número de datos =

El ancho de clase o intervalo, se calcula dividiendo la diferencia entre el valor máximo de los datos menos el valor mínimo de los datos entre el número de clases obtenido anteriormente.

Ancho de clase = =

Nótese que la unidad de variación de los datos es 1 por lo que el ancho de clase se aproxima de 193.4 a 194, el límite inferior de la primera clase en este caso de la clase A es 515.

Para los límites de clase, primero el límite inferior lo podemos calcular sumando al límite inferior de cada clase el ancho de clase.

Límite inferior de la clase = límite inferior de la clase + ancho de clase
Límite inferior de la clase A = 515
Límite inferior de la clase B = 515 + 194 = 709
Límite inferior de la clase C = 709 + 194 = 903
Límite inferior de la clase D = 903 + 194 = 1097
Límite inferior de la clase E = 1097 + 194 = 1291

Límite superior, podemos determinarlo restando a la suma de el límite inferior de la clase más el ancho de clase, la unidad de variación.

Límite superior de la clase = límite inferior de la clase + ancho de clase –unidad de variación

Límite superior de la clase A = 515 + 194 - 1 = 708
Límite superior de la clase B = 709 + 194 - 1 = 902
Límite superior de la clase C = 903 + 194 - 1 = 1096
Límite superior de la clase D = 1097 + 194 - 1 = 1290
Límite superior de la clase E = 1291 + 194 - 1 = 1484

Así que la tabla con los datos obtenidos más las frecuencias para el conteo de los mismos queda como sigue:

CLASES LÍMITE INFERIOR LÍMITE SUPERIOR FRECUENCIA

A 515 708 llllll 6
B 709 902 lllll 5
C 903 1096 llll 4
D 1097 1290 l 1
E 1291 1484 llll 4


Una solución alternativa puede ser partir de las 5 clases y establecer un ancho de clase de 200, es decir partir de la clase A y sumarle el ancho de clase y así sucesivamente.

Para el mismo ejemplo sería.

CLASES LÍMITE INFERIOR LÍMITE SUPERIOR FRECUENCIA

A 500 699 llll 4
B 700 899 lllllll 7
C 900 1099 lllll 5
D 1100 1299 L 1
E 1300 1499 lll 3



Para evitar los huecos en los límites inferior y superior se establecen las fronteras de clase conocidos también como límites exactos de clase o límites reales de clase. Los valores de la frontera de clase inferior se obtienen restando la mitad de la variación (1) al límite inferior.
Frontera de clase inferior = límite inferior -

Frontera inferior de la clase A =
Frontera inferior de la clase B =
Frontera inferior superior de la clase C =
Frontera inferior superior de la clase D =
Frontera inferior superior de la clase E =

Frontera de clase superior = límite superior +
Frontera superior de la clase A =
Frontera superior de la clase B =
Frontera superior de la clase C =
Frontera superior de la clase D =
Frontera superior de la clase E =


La marca de clase es el punto medio entre los límites de la clase, a menudo se utiliza como el valor promedio estadístico de los datos de la clase, se denota por .
Marca de clase = límite inferior de la clase +límite superior de la clase
Marca de clase A =
Marca de clase B =
Marca de clase C =
Marca de clase D =
Marca de clase E =


Concentrando en una tabla quedaría de la manera siguiente:

Clases Límite inferior Límite superior Frontera de clase inferior Frontera de clase superior Marca de clase


A 515 708 514.5 708.5 611. 5
B 709 902 708.5 902.5 805.5
C 903 1096 902.5 1096.5 999.5
D 1097 1290 1096.5 1290.5 1193.5
E 1291 1484 1290.5 1484.5 1387.5



Conteo de datos puede hacerse el conteo de datos con frecuencia simple, frecuencia acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.



La frecuencia simple como ya antes lo observamos es el número de elementos que contienen cada clase.



CLASES LÍMITE INFERIOR LÍMITE SUPERIOR FRECUENCIA

A 515 708 llllll 6
B 709 902 lllll 5
C 903 1096 llll 4
D 1097 1290 l 1
E 1291 1484 llll 4


La frecuencia acumulada en un intervalo se obtiene sumando la frecuencia de ese intervalo con los intervalos anteriores.



CLASES INTERVALO FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA
A 515 – 708 6 6
B 709 -902 5 11
C 903 -1096 4 15
D 1097 -1290 1 16
E 1291 -1484 4 20


La frecuencia relativa es la proporción de la frecuencia de la clase con respecto al total de frecuencias, puede ser vista como un porcentaje multiplicando por 100 a la frecuencia del intervalo. Al sumar la frecuencia relativa debe darnos como resultado la unidad en caso de porcentaje el 100%, como se muestra en la siguiente tabla.

CLASES INTERVALO FRECUENCIA

FRECUENCIA RELATIVA
A 515 – 708 6 0.30 30%
B 709 -902 5 0.25 25%
C 903 -1096 4 0.20 20%
D 1097 -1290 1 0.05 5%
E 1291 -1484 4 0.20 25%
TOTAL 20 1.00 100%




La frecuencia relativa acumulada se determina sumando la frecuencia relativa de la clase a la de las clases anteriores.

CLASES INTERVALO FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA
A 515 – 708 6 6 0.30
B 709 -902 5 11 0.55
C 903 -1096 4 15 0.75
D 1097 -1290 1 16 0.80
E 1291 -1484 4 20 1.00


Ejemplo 2
Las medidas siguientes representan las alturas de los alumnos la preparatoria. Elabore una distribución de frecuencias.

RECOPILACIÓN DE DATOS
1.82 1.43 1.51 1.47 1.69
1.88 1.52 1.72 1.78 1.54
1.61 1.66 1.70 1.81 1.58
1.48 1.53 1.73 1.61 1.56
1.57 1.78

ORDENACIÓN DE LOS DATOS
1.43 1.53 1.61 1.72 1.82
1.47 1.54 1.61 1.73 1.88
1.48 1.56 1.66 1.78
1.51 1.57 1.69 1.78
1.52 1.58 1.70 1.81


Número de clases = número de datos =

Ancho de clase = =

Nótese que la unidad de variación de los datos es 0.01. Por lo que a partir de 1.40 como límite inferior podemos determinar los demás límites inferiores.

Límite inferior de la clase = límite inferior de la clase + ancho de clase
Límite inferior de la clase A = 1.40
Límite inferior de la clase B = 1.40 + 0.10 = 1.50
Límite inferior de la clase C = 1.50 + 0.10= 1.60
Límite inferior de la clase D = 1.60 + 0.10= 170
Límite inferior de la clase E = 1.70 + 0.10= 1.80

Límite superior de la clase = límite inferior de la clase + ancho de clase –unidad de variación
Límite superior de la clase A = 1.40 + 0.10 – 0.01 = 1.49
Límite superior de la clase B = 1.50 + 0.10 – 0.01 = 1.59
Límite superior de la clase C = 1.60 + 0.10 – 0.01 = 1.69
Límite superior de la clase D = 1.70 + 0.10 – 0.01 = 1.79
Límite superior de la clase E = 1.80 + 0.10 – 0.01 = 1.89

Por lo tanto la tabla de distribución de frecuencias quedaría:


Clase
Límite inferior Límite superior Frecuencia
A 1.40 1.49 III 3
B 1.50 1.59 IIIII II 7
C 1.60 1.69 IIII 4
D 1.70 1.79 IIIII 5
E 1.80 1.89 III 3

Respecto a las fronteras de clase tendríamos el análisis siguiente:
Frontera de clase inferior = límite inferior -
Frontera inferior de la clase A =
Frontera inferior de la clase B =
Frontera inferior superior de la clase C =
Frontera inferior superior de la clase D =
Frontera inferior superior de la clase E =

Frontera de clase superior = límite superior +
Frontera superior de la clase A =
Frontera superior de la clase B =
Frontera superior de la clase C =
Frontera superior de la clase D =
Frontera superior de la clase E =

Las marcas de clase serían.
Marca de clase = límite inferior de la clase +límite superior de la clase
Marca de clase A =
Marca de clase B =
Marca de clase C =
Marca de clase D =
Marca de clase E =


Concentrando en una tabla quedaría de la manera siguiente:

Clases Límite inferior Límite superior Frontera de clase inferior Frontera de clase superior Marca de clase


A 1.40 1.49 1.395 1.495 1.445
B 1.50 1.59 1.495 1.595 1.545
C 1.60 1.69 1.595 1.695 1.645
D 1.70 1.79 1.695 1.795 1.745
E 1.80 1.89 1.795 1.895 1.845
Conteo de datos puede hacerse el conteo de datos con frecuencia simple, frecuencia acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.


La frecuencia simple como ya antes lo observamos es el número de elementos que contienen cada clase.

Clase Límite inferior Límite superior Frecuencia

A 1.40 1.49 III 3
B 1.50 1.59 IIIII II 7
C 1.60 1.69 IIII 4
D 1.70 1.79 IIIII 5
E 1.80 1.89 III 3


La frecuencia acumulada en un intervalo se obtiene sumando la frecuencia de ese intervalo con los intervalos anteriores.


CLASES INTERVALO FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA
A 1.40 – 1.49 3 3
B 1.50 – 1.59 7 10
C 1.60 – 1.69 4 14
D 1.70 – 1.79 5 19
E 1.80 – 1.89 3 22







La frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada se determinan en la siguiente tabla:



CLASES INTERVALO FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA
A 1.40 – 1.49 3 3 0.136
B 1.50 – 1.59 7 10 0.454
C 1.60 – 1.69 4 14 0.636
D 1.70 – 1.79 5 19 0.863
E 1.80 – 1.89 3 22 1.00



3.2.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS.

Histograma y polígono de frecuencias de frecuencias.

Un histograma es una gráficas de barras en donde se representa a escala sobre el eje horizontal el número de clases y sobre el eje vertical las frecuencias.
El polígono de frecuencias es un figura determinada por los puntos medios de las barras del histograma cerrados en la parte inferior por el eje horizontal.
Ejemplo 1
La graficación del histograma y el polígono de frecuencias para la siguiente distribución son:

CLASES LÍMITE INFERIOR LÍMITE SUPERIOR FRECUENCIA

A 515 708 llllll 6
B 709 902 lllll 5
C 903 1096 llll 4
D 1097 1290 l 1
E 1291 1484 llll 4


Ejemplo 2
Graficar el histograma y el polígono de frecuencias para la distribución siguiente.


CLASES INTERVALO FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA
A 1.40 – 1.49 3 3
B 1.50 – 1.59 7 10
C 1.60 – 1.69 4 14
D 1.70 – 1.79 5 19
E 1.80 – 1.89 3 22






Ojiva.

La ojiva es útil en la graficación de frecuencias acumuladas pues permite observar los porcentajes más de un límite cualquiera o menos de este mismo límite, de tal manera que facilitan la comprensión de la información que se está analizando.


Ejemplo 1
CLASES INTERVALO FRONTERAS DE CLASE FRECUENCIA

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA
A 515 – 708 514.5-708.5 6 0.30
B 709 -902 708.5-902.5 5 0.55
C 903 -1096 902.5-1096.5 4 0.75
D 1097 -1290 1196.5-1290.5 1 0.80
E 1291 -1484 1290.5-1484.5 4 1.00


Ejemplo 2
Las ojivas más y menos de la distribución de frecuencias siguiente es:

CLASES INTERVALO FRONTERAS DE CLASE FRECUENCIA

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA
A 1.40 – 1.49 1.395-1.495 3 0.136
B 1.50 – 1.59 1.495-1.595 7 0.454
C 1.60 – 1.69 1.595-1.695 4 0.636
D 1.70 – 1.79 1.695-1.795 5 0.863
E 1.80 – 1.89 1.795-1.895 3 1.00



Ejercicios:

1. Realice una distribución de frecuencias de las actividades que realizan los compañeros del grupo fuera del horario de clases. Grafique en un histograma y un polígono de frecuencias.
2. Efectúe una encuesta entre los compañeros del grupo acerca del peso de cada uno. Clasifíquelos, determine los límites de clase, ancho de clase, marca de clase, las frecuencias relativas. Grafica los datos en un histograma y un polígono de frecuencias.
3. Clasifique los valores siguientes en 4 clases de dimensión uniforme, determine fronteras de clase, frecuencia relativa acumulada y grafique en ojivas “más” y “menos”:
145, 105, 190, 155, 75, 90, 135, 110, 120, 185, 120, 165, 150, 160, 175, 140, 155, 175, 125, 170.

4. los datos siguientes muestran la presión de personas de la tercera edad a los que se les aplicó un examen médico. Determine en una distribución de frecuencias las clases, límites de clase, fronteras de clase, marcas de clase, frecuencia relativa y frecuencias relativas acumuladas. Grafique en un histograma polígono de frecuencias y ojivas.

104
125
110
112
120
128
130 112
103
124
111
113
103
102 128
125
105
123
112
121
112 129
104
121
110
122
114
115 118
104
105
123
115
109
120 132
129
103
107
127
121
114 130
126
128
101
127
122
129 112
126
125
130
108
123
105 106
115
127
127
109
130
121 107
118
114
126
121
127
121 129
111
119
104
129
125
121

5. Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en su examen de ingreso a la universidad fueron las que se presentan en la tabla, determine la distribución de frecuencia relativas acumuladas con una representación gráfica de ojivas.

60
79
59
84 75
67
55
62 92
62
83
56 73
54
88
81 98
79
72
83 65
65
94
72 55
87
75
86 78
48
73
75 45
92
68
68 85
73
60
89 70
83
77
98

6.- los cambios porcentuales en los índices de precios al consumidor durante el año 2002 fueron:
0.7 1.0 0.6 0.4 0.7 0.7 1.2 0.8 1.2 0.4 0.5 0.4
a) Elabore una distribución de frecuencias.
b) Trace una Histograma y polígono de frecuencias simple.
c) Elabore la ojiva más y menos.

7.- las edades de 50 bailarinas que se presentaron a un concurso de selección para una comedia musical fueron:
21 19 22 19 18 20 23 19 19 20
19 20 21 22 21 20 22 20 21 20
21 19 21 21 19 19 20 19 19 19
20 20 19 21 21 22 19 19 21 19
18 21 19 18 22 21 24 20 24 17

8.- La siguiente Tabla muestra una distribución de frecuencias de las vidas medias de 400 válvulas de radio probadas en la empresa “Válvulas Mexicana P29”. Determinar de ella los siguiente:
a) Limites de clase
b) Fronteras de clase
c) Marcas de Clase
d) Frecuencia simple
e) Frecuencia Relativa
f) Frecuencia relativa acumulada
g) Porcentaje de tubos cuya vida media no pasa de 600 hrs.
h) Porcentaje de tubos cuya vida media es mayor o igual a 900 hrs.

Vida media
(horas) Numero de
Tubos
300-399
400-499
500-599
600-699
700-799
800-899
900-999
1000-1099
1100-1199 14
46
58
76
68
62
48
22
6
Total 400

Medidas de tendencia central
Es necesario para obtener conclusiones acerca de los datos además de la distribución de frecuencias ciertos promedios que aclaren semejanzas o diferencias precisas. Algunas de ellas son la media, la mediana y la moda. También las podemos encontrar como medidas de posición. Pueden calcularse en datos agrupados y no agrupados.

Media Aritmética
La media aritmética es conocida también como promedio, es una medida muy frecuentemente utilizada en los análisis estadísticos. Se denota por
Para datos no agrupados la media se puede determinar sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre el número de datos.

Cada uno de los datos
Número de datos

Ejemplo 1

Las calificaciones de un alumno al finalizar el ciclo escolar fueron:

Calculo diferencial
Química
Inglés
Nociones de derecho
Economía
Biología humana
Creatividad aplicada 7.0
6.4
8.7
8.9
9.1
6.7
9.4


Ejemplo 2
Calcule la media de los datos siguientes:
3,4,5,4,6



La Mediana
La mediana es el valor que ocupa la posición central entre todos los datos, ordenados en forma ascendente o descendente. Cuando el número de datos es impar, la mediana es única y entre los datos se localiza al centro. Cuando el número de datos es par se promedian los dos datos que se localizan al centro
.
Para datos no agrupados la posición de la mediana se calcula, sumando la unidad al número de datos, dividiendo posteriormente el resultado entre dos, es decir:
Posición de la mediana = =

Ejemplo 1

Cálculo diferencial
Química
Inglés
Nociones de derecho
Economía
Biología humana
Creatividad aplicada 7.0
6.4
8.7
8.9
9.1
6.7
9.4


6.4, 6.7, 7.0, 8.7, 8.9, 9.1, 9.4

=
Por lo tanto la mediana es 8.7 que es el dato que ocupa el lugar número 4
Ejemplo 2
Calcule la mediana de los datos siguientes:
3,4,5,4,6
ordenando datos 3,4,4,5,6

=
Por lo tanto la mediana es que es el dato que ocupa el lugar número 4



La Moda
La moda es valor más frecuente en un conjunto de datos. Habrá casos en los cuales se tenga más de una moda a los cuales se les llama multimodales o que no tengan moda se les conoce como amodales.
Ejemplo 1
CONTEO DE DATOS
CLASES FRECUENCIA
azul lll 3
verde lll 3
negro lllll 5
rojo lllll 5
amarillo l 1
blanco lll 3

Es un ejemplo bimodal pues la moda son los datos negro y rojo con 5 elementos cada uno.


Ejemplo 2
Calcule la moda de los datos siguientes:
3,4,5,4,6
La moda es el número 4 pues es el único que se repite. = 4
Datos agrupados
Para datos agrupados, aunque no hay exactitud como en datos no agrupados se pueden aproximar de la manera siguiente.


Media
Primero se calculan las marcas de clase, que se denotan , después se multiplica la marca de clase por la frecuencia de cada clase y se suman para finalmente dividir la suma de las frecuencias de clase , por lo que:

Ejemplo 1



CLASES INTERVALO FRECUENCIA


A 515 – 708 6 611. 5 3669.0
B 709 -902 5 805.5 4027.5
C 903 -1096 4 999.5 3998.0
D 1097 -1290 1 1193.5 1193.5
E 1291 -1484 4 1387.5 5550.0
total 20 18 438.00





La media se localiza en la clase C que en donde se puede localizar el número

Ejemplo 2

CLASES INTERVALO FRECUENCIA




A 1.40 – 1.49 3 1.445 4.335
B 1.50 – 1.59 7 1.545 10.815
C 1.60 – 1.69 4 1.645 6.580
D 1.70 – 1.79 5 1.745 8.725
E 1.80 – 1.89 3 1.845 5.535
total 22 35.99




La media se localiza en la clase C que en donde se puede localizar el número


Mediana
Para datos agrupados la mediana, se calcula a través de una distribución de frecuencias agrupada. En donde:

Frontera de clase inferior en donde se localiza la mediana .
Número de datos.
Frecuencia acumulada en la clase anterior a la que contiene la mediana.
Frecuencia del intervalo que contienen a la mediana.
Ancho de clase que contienen a la mediana.

Lo primero que debe determinarse es la clase en la cual se encuentra la mediana. Puede hacerse determinando el dato que se encuentra en medio de la distribución, es decir .
Ejemplo:
Por lo tanto la clase en donde se ubica la mediana es B.
708.5
20
6
5
Ancho de clase = =

CLASES INTERVALO FRECUENCIA FRECUENCIA ACUMULADA
A 515 – 708 6 6
B 709 -902 5 11
C 903 -1096 4 15
D 1097 -1290 1 16
E 1291 -1484 4 20

=
La posición de la mediana es la clase B en donde se localiza el número 863.37
Ejemplo 2
Determine la mediana de la distribución de frecuencias siguiente:
CLASES INTERVALO FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA
A 1.40 – 1.49 3 3
B 1.50 – 1.59 7 10
C 1.60 – 1.69 4 14
D 1.70 – 1.79 5 19
E 1.80 – 1.89 3 22



Por lo tanto la clase en donde se ubica la mediana es B.
1.495
22
3
7
0.10

=

La posición de la mediana es la clase C en donde se localiza el número 1.609

MODA
Para datos agrupados se puede calcular apoyados en una distribución de frecuencias aplicando la fórmula.


moda =


frontera de clase inferior en donde se localiza la moda
= diferencia entre la frecuencia de la clase que contiene a la moda y la frecuencia de la clase anterior.
= diferencia entre la frecuencia del intervalo que contiene a la clase modal y la frecuencia del intervalo siguiente.
ancho de clase del intervalo que contiene a la moda.

Ejemplo 1 Determine la Moda en la siguiente distribución de frecuencias
CLASES INTERVALO FRECUENCIA
A 515 – 708 6
B 709 -902 5
C 903 -1096 4
D 1097 -1290 1
E 1291 -1484 4


=


La moda se ubica en la clase correspondiente al número 579.16

Ejemplo 2
Calcule la clase en donde se localiza la moda en la distribución de frecuencias siguiente:


CLASES INTERVALO FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA
A 1.40 – 1.49 3 3
B 1.50 – 1.59 7 10
C 1.60 – 1.69 4 14
D 1.70 – 1.79 5 19
E 1.80 – 1.89 3 22


=

La moda se ubica en la clase correspondiente al número 1.552

Ejercicios
1. Determine la media la mediana y la moda de tipos de música más escuchada por los compañeros.
2. Calcula la media la mediana y la moda de los promedios de calificaciones del grupo.
3. Deduce la media la mediana y la moda de los colores favoritos de los compañeros del grupo.
4. Calcula la media la mediana y la moda de los tiempos para llegar a la escuela de todos los compañeros del grupo.
5. determina la media la media y la moda del gasto diario aproximado en los juegos de video de los compañeros del grupo.
6. Los siguientes datos pertenecen al examen de matemáticas de los alumnos de Preparatoria.

24 – 28 – 32 – 40 – 34 – 38 – 45 – 50 – 39 – 40 – 23 – 35 – 34 – 29
32 – 37 – 42 – 40 – 47 – 26 – 38 – 41 – 49 – 30 – 34 – 35 – 25 – 42
28 – 27 – 29 – 36 – 42 – 40 – 42 – 32 – 35 – 26 – 23 – 22 – 24 – 38
35 – 34 – 33 – 44 – 39 – 38 – 24 – 28 – 29 – 34 – 36 – 24 – 26 – 28

7. Armar la tabulación con un intervalo de 5.

8. Hallar la media aritmética.


9. Hallar la mediana.

10. Hallar la moda.


11. Desviación media.

12. Varianza.


13. Desviación estándar.

14. Representa su gráfica.

3.2.4 Varianza

Medidas de dispersión
Para conocer un conjunto de datos en forma numérica pueden aplicarse algunas medidas de dispersión, existen varias pero sólo estudiaremos la varianza y la desviación estándar o desviación típica.

Al igual que las medidas de tendencia central las medias de dispersión pueden calcularse para datos individuales y para una distribución de frecuencias.

La varianza definida como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media. La varianza indica como están distribuidos los datos con respecto a la media. Se denota por . Puede calcularse por medio de la fórmula siguiente:



= el valor de cada uno de los datos.
= la media del conjunto de datos.

= el número total de datos.


Ejemplo 1
Calcular la varianza para el siguiente conjunto de valores: 12, 25, 8, 15, 5, 18, 26, 14, 9, 10.

Primero calculemos la media




Ahora la varianza:



La Desviación Estándar o Desviación Típica

La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza.

Por lo tanto es:


Ejemplo 2
Calcule la varianza para los datos que a continuación se enlistan:
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5
Primero calculemos la media




Ahora la varianza:



La desviación típica es:


Para datos agrupados se toman los datos de la distribución de frecuencia. Aplicando la fórmula:



En donde:

= el valor de la frecuencia en cada clase.

= marca de clase en cada clase.
= la media del conjunto de datos.

= el número total de datos.




Ejemplo 1

Para la distribución de frecuencias siguiente la varianza sería:

CLASES INTERVALO FRECUENCIA




A 0-50 7 25 175 -205 42 025 294 175
B 50-100 15 75 1125 -155 24 025 360 375
C 100-150 28 125 3500 -105 11 025 308 700
D 150-200 22 175 3850 -55 3 025 66 550
E 200-250 11 225 2475 -5 25 275
F 250-300 13 275 3575 45 2 025 26 325
G 300-350 9 325 6175 95 9 025 171 475
H 350-400 25 375 9375 145 21 025 525 625
I 400-450 10 425 4250 195 38 025 381 225
total 150 34 500 2 133 750



Por lo tanto la varianza:



Y la desviación típica es



Ejemplo 2

Para la distribución de frecuencias siguiente la varianza sería:

CLASES INTERVALO FRECUENCIA






A 1.40 –1.49 3 1.445 4.335 -0.19 0.0361 0.1083
B 1.50 –1.59 7 1.545 10.815 -0.09 0.0081 0.0567
C 1.60 –1.69 4 1.645 6.580 0.01 0.0001 0.0004
D 1.70 –1.79 5 1.745 8.725 0.11 0.0121 0.0605
E 1.80 –1.89 3 1.845 5.535 0.21 0.0441 0.1323
Total 22 35.99 0.2582


Por lo tanto la varianza:




Y la desviación típica:


Ejercicios

1. Determine varianza y la desviación estándar de tipos de música más escuchada por los compañeros.

2. Calcula la varianza y la desviación estándar de los promedios de calificaciones del grupo.


3. Deduce varianza y la desviación estándar de los colores favoritos de los compañeros del grupo.

4. Calcula la varianza y la desviación estándar de los tiempos para llegar a la escuela de todos los compañeros del grupo.


5. Determina varianza y la desviación estándar del gasto diario aproximado en los juegos de vídeo de los compañeros del grupo.


6. Calcule la desviación estándar de las velocidades medidas con radar de 55 automóviles que circularon en una determinada calle.

27 23 22 38 43 24 35 26 28 18 20
25 23 22 52 31 30 41 45 29 27 43
29 28 27 25 29 28 24 37 28 29 18
26 33 25 27 25 34 32 36 22 32 33
21 23 24 18 48 23 16 38 26 21 23

7. La prueba de hemoglobina A 1c , una prueba sanguínea aplicada a los diabéticos durante sus exámenes rutinarios de control, indica el nivel del azúcar en la sangre durante los dos o tres meses anteriores a la prueba. Los siguientes datos se obtuvieron de 40 personas diabéticas diferentes en una clínica. Calcula la desviación estándar


6.5 5.0 5.6 7.6 4.8 8.0 7.5 7.9 8.0 9.2
6.4 6.0 5.6 6.0 5.7 9.2 8.1 8.0 6.5 6.6
5.0 8.0 6.5 6.1 6.4 6.6 7.2 5.9 4.0 5.7
7.9 6.0 5.6 6.0 6.2 7.7 6.7 7.7 8.2 9.0


UNIDAD IV

VARIABLES ALEATORIAS



Objetivo: al finalizar la unidad el alumno será capaz de comprender la noción general de variable aleatoria y distinguir las variables discretas y continuas en la resolución de problemas.

4 VARIABLES ALEATORIAS

4.1 Unidimensionales

Cuando consideremos un espacio muestral podemos observar que no siempre son números, por ejemplo al avalar del experimento “clasificar un artículo manufacturado” simplemente se puede usar las categorías “defectuoso” y “no defectuoso”. Sin embargo, las situaciones experimentales donde resulta conveniente a la hora de medir algo anotarlo como un número, por ejemplo, podemos asignarle el valor uno a artículos no defectuosos y el valor cero a defectuosos.

En general hay situaciones donde se desea asignar un número real x a cada uno de los elementos del espacio muestral S, esto es x = X(s), es el valor de una función X del espacio muestral a los números reales.

Una variable aleatoria, es una función X que se asigna a cada uno de los elementos de un espacio muestral S, un número real.
P{ E1E2 }=





Espacio muestral Valores reales



Ejemplo 1
Al lanzar dos monedas, considerar el espacio muestral asociado.

S = {AA, AS, SA, SS}

Si definimos la variable aleatoria, X es el número de caras obtenidas en los dos lanzamientos, entonces se obtiene:







También podemos escribirlo de la siguiente forma:

X(AA) = 2 X(AS)=1 X(SA)=1 X(SS)=0

Por lo tanto, la variable aleatoria sirve para asignar un número a un evento que se interese observar.

A veces hay experimentos donde los eventos ya son números por ejemplo: en una urna existen 5 esferas numeradas de uno al cinco, considere el experimento, meter la mano y sin ver, sacar una de las esferas, entonces:

S = {1,2,3,4,5}

Es decir, ya se tiene la característica numérica que se quiere anotar, en este caso es como definir la función identidad.
X es la variable aleatoria que indica el número de la esfera que salió, entonces:

X(1) = 1
X(2) = 2
X(3) = 3
X(4) = 4
X(5) = 5

De los eventos interesa calcular su probabilidad, si con una variable aleatoria se asigna aun evento un número, a ese número se le puede calcular su probabilidad y surge entonces el concepto de distribución de probabilidad.

Una distribución de probabilidad es la relación entre los valores que pueden tomar una variable y la probabilidad que le corresponde.





Ejemplo 2

En el experimento de lanzar un dado y observar la cara que cae hacia arriba podemos calcular:

P(X = x), donde X es la variable aleatoria que indica la cara que cae, entonces x puede ser 1,2,3,...6

Por lo tanto P(x = 1) = 1/6
P(x = 2) = 1/6
P(x = 3) = 1/6
P(x = 4) = 1/6
P(x = 5) = 1/6
P(x = 6) = 1/6



4.2.1 Discretas y continuas
De acuerdo al espacio muestral las distribuciones de probabilidad pueden ser discretas y continuas.

o Distribución de probabilidad discretas.

Distribución uniforme
Distribución simétrico
Distribución binomial
Distribución hipergeométrica
Distribución Poisson

o Distribuciones de probabilidad continuas
Distribución normal
Distribución exponencial

Se tratarán de las discretas sólo la distribución binomial y de las continuas la distribución normal.


4.2.1 La distribución binomial o de Bernoulli

La distribución binomial, se debe al planteamiento hecho por un matemático suizo Jacob F Bernoulli (1654-1705), es una de las más sencillas, estudia experimentos o procesos en los cuales sólo existen dos posibles resultados, llamados procesos Bernoulli.

La distribución binomial se aplica en los experimentos que tienen las siguientes características.

• Sólo existen dos posibles resultados mutuamente excluyentes, conocidos como éxito y fracaso.
• La probabilidad de éxito permanece constante durante todas las observaciones que se realizan.
• El total de observaciones posibles es muy grande o infinito en relación con el número de observaciones que se realizan.
• Los resultados son independientes entre si.


La probabilidad de que un evento ocurra exactamente x veces al realizar n veces un proceso de Bernoulli, en el cual la probabilidad de éxito es p y, en consecuencia, la probabilidad de fracaso es 1 – p (conocida como q), está dada por la siguiente fórmula:


En ella.

P (x) es la probabilidad de que sucedan exactamente x éxitos, en un total de n intentos.
x es el número de éxitos deseados.
n es el número de veces que se realiza la operación.
P es la probabilidad de obtener un éxito.
Q es la probabilidad de obtener un fracaso, esto es, el complemento
de p, o sea, 1–p.

Ejemplo 1
Si se lanza un dado 10 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 veces el número 5?

Para cada lanzamiento el resultado puede ser exitoso o fracaso, éxito si cae el número 5, fracaso si cae un número distinto a 5.

Por lo que se puede aplicar la fórmula de la distribución binomial:


Solución:
El número de éxitos deseados es 3 es decir x = 3.

La probabilidad de que ocurra “número 5” es 1/6

p = 1/6, por lo tanto q = 1- 1/6 = 5/6

El número de veces que se lanza el dado es 10
n = 10

Sustituyendo en fórmula:



Ejemplo 2

En una granja el encargado garantiza que ninguna de sus cajas con 12 huevos contiene más de uno en mal estado. Si hubiera, el repondrá la docena. La probabilidad de que un huevo esté descompuesto, es 0.05 ¿Cuál es la probabilidad de que el encargado tenga que reponer una caja de huevos?


Sea x el número de huevos en descomposición que se hallen en una caja.

P = 0.05, hacer una inspección de cada huevo puede considerarse como un ensayo que dará como resultado un huevo “en mal estado” o “en buen estado” es decir solamente dos resultados.

Para que el encargado tenga que reponer una caja de huevos basta con encontrar más de un huevo en mal estado en una caja.

Se tendría que encontrar la probabilidad de que 2 estén en mal estado o la probabilidad de que 3 estén en mal estado... o que 12 estén en mal estado, es decir:

P (x=2) +P(x=3) +…+P(x=12)= 1 - [P(x=0) + P(x=1)]

Si observamos es más sencillo calcular la P(x=0) + P(x=1) y restarlas de 1 .

Entonces sustituyendo en la fórmula de binomial:





Por lo tanto:

P (el encargado reponga una caja de huevo) = P (x=2) +P(x=3) +…+P(x=12)= 1 - [P(x=0) + P(x=1)]= 1 – [0.540 + 0.341] = 0.119

Ejercicios

1. La probabilidad de que un componente específico se comporte en forma adecuada a temperatura alta, es del 90%. Si el aparato en el que se usa el componente tiene en total cuatro de ellos , determine la probabilidad en cada uno de los siguientes eventos:

a) Todos los componentes se comportan de forma adecuada.
b) El aparato no funciona bien porque falla exactamente uno de los cuatro componentes.
c) El aparato no funciona porque falla uno o más de los componentes.


2. Suponga que el 40% de los empleados a destajo de una empresa están de tener representación sindical y que se entrevista a una muestra aleatoria de 10 de ellos y se les solicita una respuesta anónima, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) La mayoría de los que responda esté a favor de la representación sindical?.
b) Menos de la mitad de los que respondan estarán a favor de la representación sindical?


3. Una pecera contiene 20 peces rojos y 30 peces amarillos. Determine la probabilidad de que, al tomar aleatoriamente una muestra de 15 peces, ésta contenga exactamente 7 peces rojos.

4. Entre 800 familias con 5 hijos, se suponen probabilidades iguales para chicos y chicas ¿cuántas cabe esperar que tengan?
a) 3 chicos
b) 5 chicas
c) 2 o 3 chicos

5.- Hallar la probabilidad de obtener una suma de 11 puntos en dos lanzamientos de un par de dados:
a) Una vez
b) Dos veces.

5.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar 9 exactamente una vez en tres lanzamientos de un par de dados?

7.- Hallar la probabilidad de acertar al azar la respuesta de al menos 6 de entre 10 cuestiones en un test verdadero-falso.

8.- Probar que si una distribución binomial con N=100 es simétrica, su coeficiente momento de curtosis es 2.98
4.2.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL

En el tema anterior se manejó que dependiendo del espacio muestral las distribuciones de probabilidad serán discretas y continuas, para las distribuciones continuas la relación se maneja por medio de una función matemática, llamada función de densidad.


Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas:

• Los valores de la distribución se representan mediante una ecuación matemática.
• El número de valores de la distribución es infinito.
• Los valores son siempre mayores o iguales a cero.
• El área bajo la curva entre dos puntos del eje horizontal, representa la probabilidad de que un evento tenga cualquier valor entre esos dos puntos. (probabilidad de ocurrencia de un valor aleatorio entre esos dos puntos)
• El área total bajo la curva es igual a uno.


La Distribución Normal

Dentro de las funciones de densidad continuas más importantes encontramos a la distribución normal, curva normal o distribución gaussiana definida por la función:


F(x)=Y = 1



Donde



Media

Desviación típica











La distribución normal permite resolver en forma aproximada problemas propios de la binomial.

Propiedades de la curva normal o campana de Gauss:

• Es simétrica
• La media la mediana y la moda son iguales
• Teóricamente la curva se extiende hasta el infinito, sin tocar nunca los ejes.

El área total bajo la curva entre a y b , con a < b, representa la probabilidad de que X esté entre a y b. Esta probabilidad se denota por:

P(a

Cuando la distribución tiene:

Media igual a cero y varianza igual a uno, se dice que tenemos una distribución normal estándar o curva estandarizada.

Para calcular probabilidad en curvas normales resulta de mayor facilidad hacerlo con curvas estandarizadas y existen tablas con valores ya calculados con áreas bajo la curva acotadas por las ordenadas z = 0 y cualquier valor positivo de z. De estas tablas se puede deducir el área entre todo par de coordenadas usando la simetría de la curva respecto de z = 0. Entonces el problema se reduce a estandarizar la curva normal, para los problemas que se necesite.






Ejemplo 1

La estatura promedio de los empleados de una empresa es de 1.65 m, con una desviación estándar de 6.2 cm.

Suponga una distribución normal y determine qué porcentaje de los empleados miden:

a) más de 1.57 m
b) menos de 1.70 m
c) entre 1.57 m y 1.70 m

Solución:
a) Como la media de la población es 1.65 m el valor 1.57 m se localiza a la izquierda del centro de la curva normal, como se puede observar en la grafica. El valor de la variable normalizada es:




Valor para el cual corresponde un área bajo la curva de 0.4015 de aquí deducimos que el porcentaje total = 0.4015 + 0.5 = 90.15 %




b) La marca 1.70 m está a la derecha del centro de la curva normal. Por lo tanto el valor de la variable normalizada es.



Al cual corresponde un área bajo la curva de 0.2910. Y el porcentaje deseado es:
Porcentaje total = 0.5 + 0.2910 = 0.7910 079.10 %



c) El área bajo la curva entre 0 y – 1.29 81.65 y 1.57) es 0.415. É área bajo la curva entre 0 y (0.81 81.65 y 1.70), por lo que el porcentaje deseado es 40.15 + 2910 = 69.25 %



EJERCICIOS

1. Determine el porcentaje del área bajo la curva de distribución normal :

a) Entre z = 0 y z = 1.11
b) Entre z = 0 y z = 3.33
c) Entre z = 3.33 y z = 5.55


2. Suponga que el monto promedio de compras por cliente de una empresa es $128.45, y una desviación estándar de $18.26. Determine la probabilidad de que un cliente cualquiera compre:
a) más de $100
b) más de $150
c) más de $120

3.. El promedio de estudiantes inscritos en jardines de niños es de 500, con desviación estándar igual 100. El número de alumnos inscritos tiene una distribución normal. ¿cuál es la probabilidad de que el número de alumnos inscritos en una escuela elegida al azar esté:
a) entre 500 y 650
b) entre 450 y 600


4. para los datos del problema 3, ¿cuál es la probabilidad de que un jardín de niños elegidos al azar tenga:
a) menos de 300 alumnos inscritos
b) más de 650

a. Se ha determinado que la vida útil de cierta marca de llantas radiales tiene una distribución normal con media igual a 38000 kilómetros y desviación estándar 3000 kilómetros:
a) ¿cuál es la probabilidad de que una llanta elegida al azar tenga una vida útil de cuando menos 35000 kilómetros?
b) Cuál es la probabilidad de que dure más de 45000 kilómetros?

b. Se ha encontrado que el tiempo de servicio que se requiere por persona en una caja bancaria tiene una distribución normal con media igual a 130 segundos y desviación estándar igual a 45 segundos. ¿cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar :
a) requiera menos de 100 segundos para terminar sus transacciones?
b) Pase entre 2 y 3 minutos en la caja bancaria?

5.- En un examen de estadística, la media fue 78 y la desviación típica 10:
a) Determinar las puntuaciones estándar de dos estudiantes que obtuvieron 63 y 92 puntos

b) Hallar las puntuaciones de 2 estudiantes cuyas puntuaciones estándar fueron –0.6 y 1.2


6.- Hallar el área bajo la curva normal entre:

a) z = -1.20 y z = 2.40
b) z = 0 1.23 y z =1.87
c) z = -2.35 y z = -0.50

7.- Si las alturas de 300 estudiantes estan normalmente distribuidas con media 68.0 In. Y desviación típica 3.0 In. Cuantos estudiantes tienen altura:

a) mayor que 72 in.
b) Menor o igual que 64 in.
c) Entre 65 y 71 in., inclusive.

GLOSARIO



Aleatorio. Relativo al azar (casualidad, coincidencia, o suerte). Proceso cuyo resultado es imposible conocer anticipadamente; por ejemplo, al lanzar un dado, ¿cuál número aparecerá?
Análisis de correlación. Cálculos necesarios para obtener un índice o coeficiente que muestre el grado de relación lineal entre dos o más variables. Vea Coeficiente de correlación lineal.
Análisis de regresión. Cálculos necesarios para obtener una fórmula que exprese la relación entre dos o más variables. Vea Regresión.
Ancho de clase. Conocido también como intervalo, o rango o amplitud, está marcado por los valores inferior y superior que delimitan la clase. Por ejemplo: la clase 1975 de conscriptos tiene un ancho de clase de 365 días (de enero 1 a diciembre 31 de 1975); la clase de estaturas de 1.61 a 1.70 metros tiene un ancho de clase de 10 centímetros (1.61, 1.62..1.69 y 1.70 metros).
Árbol de probabilidad. Gráfica que presenta los resultados posibles de un evento, así como la probabilidad de cada uno de ellos. Su característica fundamental es que la suma de las probabilidades de los resultados posibles en cualquier ramificación es uno(o 100%).
Asimetría. Conocida también como sesgo, es la característica de las partes de un conjunto, de manera que dos o más de ellas no corresponden en posición, forma o dimensiones, a uno y otro lado de un punto, de una línea o de un plano. Vea Coeficiente de asimetría de Pearson.


Clase. Conjunto de elementos que tienen una característica común. Por ejemplo: la clase 1975 de conscriptos; la clase de estaturas de 1.61 a 1.70 metros.
Coeficiente de asimetría de Pearson. Conocido también como sesgo, es una medida que expresa la asimetría de una distribución de frecuencias. Un valor positivo indica asimetría a la derecha (la media es mayor que la mediana}, mientras que un valor negativo indica asimetría a la izquierda (la media es menor que la mediana).
Coeficiente de correlación lineal. Valor que define el grado de cercanía de un conjunto de puntos a su recta de ajuste. Varía desde -1 para un ajuste perfecto con pendiente negativa, hasta +1 para un ajuste perfecto con pendiente positiva.
Coeficiente de Curtosis. Es una medida de la deformación o aplastamiento, respecto al eje horizontal, de la distribución de frecuencias de un conjunto de datos. Con esta medida, las distribuciones de frecuencias pueden clasificarse como leptocúrticas (picudas), mesocúrticas (suavizadas) o platicúrticas (planas).
Coeficiente de variación. Relación de la desviación estándar respecto a la media de un conjunto de datos. Permite comparar la dispersión de dos o más conjuntos de datos.
Combinación. Agrupamiento de elementos en el cual el orden de éstos carece de importancia. Por ejemplo: en una combinación el grupo de elementos ABC es igual al grupo BCA. Compare este concepto con el de Permutación.
Conjunto. Agrupación de elementos con una o varias características comunes, por ejemplo un grupo de estudiantes o los números enteros positivos.
Consolidación de clases. Es el proceso de agrupar, en forma total o parcial, los elementos de dos o más clases para definir una nueva clase.
Cuantiles. Nombre genérico que agrupa a los cuartiles, deciles y porcentiles.
Cuartiles. Identifican los valores que dividen un grupo de datos en 4 partes iguales.
Curva de frecuencias. Es una curva suavizada que sigue el perfil señalado por el polígono de frecuencias.



Deciles. Identifican los valores que dividen un grupo de datos en 10 partes iguales.
Desviación estándar. Es la raíz de la varianza. Es una de las medidas de dispersión más utilizadas.
Desviación media. Es el promedio de las diferencias, en valor absoluto, de cada valor menos la media de un conjunto de datos. Es poco utilizada.
Diagrama de dispersión. Figura que muestra la ubicación de los puntos relativos a un fenómeno observado, y que orienta sobre el tipo de ecuación que permita el mejor ajuste.
Diagrama de Vena. Representación gráfica de conjuntos por medio de círculos dentro de un rectángulo.
Distribución de frecuencias. Tabla que presenta el número de elementos que pertenecen a cada una de las clases o categorías en las que se haya dividido para su estudio un grupo de datos.
Distribución de muestreo. Es la forma que presentan las medidas estadísticas relativas a todas las muestras posibles de una población. Por ejemplo, la distribución de muestreo de la media de la muestra tiene una media igual a la media de la población.
Distribución de probabilidad. Es la relación entre los valores que puede tomar una variable y la probabilidad que le corresponde. Por ejemplo: si en una bolsa hay 5 canicas rojas, 7 verdes y 3 azules, la distribución de probabilidad es 5/15, 7/15 y 3/15 para las canicas rojas, verdes y azules, respectivamente. En el caso de variables continuas, la relación se maneja generalmente por medio de una función de densidad de probabilidad, cuya integración entre menos infinito y mas infinito produce un área de uno (100%).
Distribución de probabilidad binonilal. Aquella en la cual los resultados posibles son sólo dos. Por ejemplo: artículo bueno o defectuoso; alumno aprobado o reprobado.
Distribución de probabilidad Chi cuadrada. Distribución con sesgo positivo (la cola larga está a la derecha); que tiende a la normal cuando el número de grados de libertad es muy grande; que tiene valores desde cero hasta infinito (sólo positivos); y que es particularmente útil para analizar la variabilidad de una distribución.
Distribución de probabilidad de Poisson. Aquella en la cual la media se presenta en unidades de tiempo o espacio. Por ejemplo: automóviles por hora; manzanas por árbol.
Distribución de probabilidad exponencial. Variante de la distribución de probabilidad de Poisson.
Distribución de probabilidad hipergeométrica. Variante de la distribución de probabilidad binomial.
Distribución de probabilidad normal. Aquella en la cual, a partir de un punto central de máxima frecuencia (la media de la distribución), los valores mayores y menores que la media se distribuyen simétricamente a derecha e izquierda, disminuyendo gradualmente hasta desaparecer. Esta es la forma que tienen la mayoría de las distribuciones de probabilidad.
Distribución de probabilidad simétrica. Aquella en la cual, a partir de un evento central de probabilidad máxima, la probabilidad de los demás eventos, a un lado y otro del central, disminuye gradualmente.
Distribución de probabilidad de Student. Distribución semejante a la normal, que se aplica al análisis de muestras, cuando éstas son pequeñas.
Distribución de probabilidad uniforme. Aquella en la cual todos los eventos simples tienen la misma probabilidad de ocurrir.


Eficiencia del estimador. Permite comparar dos o más estimadores de igual media; el de menor varianza es más eficiente.
Error estándar del ajuste. Es una medida de los errores en que se incurre al sustituir los valores verdaderos observados por los resultantes de la fórmula de ajuste, y permite cuantificar una especie de promedio de dichas diferencias o errores.
Error probable. Amplitud del intervalo de confianza a un lado y otro de un valor central. Por ejemplo: la expresión $665 ± $O.l5 indica un error probable de $O.15 a un lado y otro del valor central ($6.65).
Error tipo I. Es el que se comete al rechazar una hipótesis verdadera. Se identifica con la letra griega alfa (a).
Error tipo II. Es el que se comete al aceptar una hipótesis falsa. Se identifica con la letra griega beta (β).
Espacio muestral. Conjunto de resultados posibles de un proceso o experimento. Por ejemplo: las caras posibles que resulten al lanzar un dado de seis caras (1, 2, 3, 4, 5 o 6); los resultados posibles al lanzar una moneda (águila o sol), etcétera.
Esperanza matemática. Es la media ponderada del valor de cada evento por la probabilidad de que suceda. Es la suma de cada evento de un conjunto de eventos, por la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos.
Estadística. Conjunto de conocimientos relativos a la recopilación, análisis e interpretación de datos de un tema de estudio, a fin de conocer más o decidir algo sobre dicho tema.
Estadística descriptiva. Aquella que permite presentar las características estadísticas de un grupo de datos. Por ejemplo: el promedio y la desviación estándar.
Estadística inferencial. Aquella que se encarga de analizar las características estadística de un pequeño grupo de datos, a fin de conocer aproximadamente las características de una población.
Estadísticos. Valores estadísticos relativos a una muestra. Compre este concepto con el de Parámetros.
Estimación por intervalo. Consiste en la identificación, a partir de los datos de una muestra aleatoria, de los limites inferior y superior entre los cuales, con un cieno nivel de confianza, se encuentra el valor verdadero; por ejemplo, la media está entre 6.5 y 6.8 centímetros.
Estimación puntual. Es la determinación, a partir de los datos de una muestra aleatoria, de un valor numérico que permite estimar (conocer aproximadamente) el valor estadístico que se desea; por ejemplo, la media es 4.27 kilogramos.
Estimador sesgado. Se llama así al estadístico muestral cuando su media de distribución de muestreo no es igual a la del parámetro de la población.
Estimador sin sesgo. Se llama así al estadístico muestral cuando su media de distribución de muestreo es igual a la del parámetro de la población.
Evento. Resultado posible, o grupo de resultados posibles, de un experimento o proceso observado. Subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo: las caras pares que pueden resultar cuando se lanza un dado de seis caras (2, 4 o 6).
Evento simple. Un resultado posible de un espacio muestral. Por ejemplo: que aparezca un 3 al lanzar un dado de seis caras.
Eventos dependientes. Aquellos en los que la ocurrencia de un evento afecta la ocurrencia de otros. Por ejemplo, si en una caja hay 5 billetes de $l.00 y 2 de $100.00, la probabilidad inicial de extraer un billete de $ 100.00 es de 2/7, pero la probabilidad de extraer un billete de $l00.00, si ya se sacó de la caja un billete, depende de la denominación que haya salido.
Eventos independientes. Aquellos en los que la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia de los otros. Por ejemplo, si se lanzan dos dados, cada uno de ellos puede caer en 1, 2, 3, 4, 5 o 6, sin importar el resultado del otro dado.
Eventos mutuamente excluyentes. Aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, un dado no puede caer al mismo tiempo en 4 y en 5.
Eventos no excluyentes entre sí. Aquellos que pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, que un dado sea rojo y que caiga en 5.


Factores unitarios. Aquellos que están referidos en proporción a una unidad de medida. Por ejemplo: kilogramos por centímetro cuadrado, o ingreso per cápita.
Factorial de un número. Es el resultado de multiplicar ese número por todos los enteros positivos menores que dicho número. (Por definición, el factorial de cero es uno.)
Frecuencia acumulada. Conocida también como "frecuencia acumulada ascendente", está formada por los valores que se obtienen al sumar acumulativamente las frecuencias de cada clase. Con ella se forma la gráfica conocida como ojiva "menos que". La frecuencia acumulada y la complementaria de cada clase suman siempre la frecuencia total de la distribución
Frecuencia complementaria. Conocida también como "frecuencia acumulada descendente” esta formada por los valores que se obtienen al restar del total las frecuencias acumuladas de cada clase. Con ella se forma la gráfica conocida como ojiva "más que"
Frecuencia de clase. Es el número de elementos incluidos en la clase. Se le conoce también como frecuencia o frecuencia simple.
Frecuencia relativa. Es la relación, en porcentaje, de la frecuencia de clase respecto al total de frecuencias.
Frecuencia unitaria. Es el número de elementos que resulta de dividir la frecuencia de una clase, entre el ancho exacto de la clase.



Gráfica de barras de dos variables. Figura que representa simultáneamente los valores correspondientes a dos variables. Tiene dos escalas diferentes, una para cada variable.
Gráfica de pastel. Figura circular fraccionada en segmentos (sectores circulares) de tamaño proporcional al número de elementos de cada clase, respecto al total de elementos de la distribución de frecuencias que se grafique.

Hipótesis. Enunciado relativo a la población en estudio. Por ejemplo: la media de estaturas es superior a 1.60 metros.
Hipótesis alternativa. Hipótesis complementaria a la hipótesis nula. Se le conoce como H1. Por ejemplo: H¡: j¿ "=1.60 m.
Hipótesis nula. Hipótesis que se elabora para confirmarla o rechazarla por medio de pruebas estadísticas. Se le conoce como Ho. Por ejemplo: H0: ji > 1.60 metros.
Histograma. Diagrama de barras que representa, a escala, el número de elementos que componen cada una de las clases de una distribución de frecuencias.



Intervalo. Vea Ancho de clase.
Intervalo de confianza. Espacio definido por dos límites (inferior y superior), dentro de los cuales se encuentra el valor verdadero que se busca. Por ejemplo: el intervalo de confianza de la media está entre $6.50 y $6.80.



Límites de clase. Son los valores inferior y superior (o límites nominales) que delimitan una clase. Por ejemplo: la clase de estaturas de 1.61 a 1.70 metros tiene como límite inferior el valor 1.61 m y como límite superior el valor 1.70 m.
Límites exactos. Conocidos también como fronteras, son los valores inferior y superior que delimitan con precisión una clase. La característica más destacada de los límites exactos es que el límite superior exacto de una clase es igual al limite inferior exacto de la clase siguiente, por ejemplo: la clase de estaturas de 1.61 a 1.70 metros tiene como límite inferior exacto el valor 1.605 m y como límite superior exacto el valor 1.705 m.
Límites nominales. Son los límites de clase de una tabla de distribución de frecuencias.



Marca de clase. Es el valor localizado al centro (o punto medio) del ancho de clase. Este valor puede considerarse como el promedio de los elementos de la clase. Por ejemplo: la clase de estaturas de 1.61 a 1.70 metros tiene como marca de clase el valor 1.655 m.
Media. Conocida comúnmente como promedio, es la medida que resultaría al asignar de manera uniforme un mismo valor a los elementos de un conjunto. En otra forma, podría decirse que es la altura de una línea compensadora imaginaria que equilibre los valores mayores con los valores menores de un conjunto de datos.
Media geométrica. La media geométrica de un conjunto de n valores es la raíz enésima del producto de tales valores. Por ejemplo: la media geométrica de 7, 9 y 11 es: RAÍZ CÚBICA(7 * 9 * 11) = RAÍZ CÚBICA (693) = 8.849.
Mediana. Es el valor del elemento de la posición central de un conjunto de datos ordenados. Si el número de datos es par, la mediana es el promedio de los valores de los dos elementos centrales. La mediana divide la distribución de datos en dos partes iguales.
Método de mínimos cuadrados. Determina la ecuación de una curva que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores observados, respecto a los calculados con la curva.
Moda. Es el valor más frecuente de un conjunto de datos.
Momento ti. Es el promedio de las diferencias (elevadas a la potencia ti) de cada valor respecto a la media. El primer momento es siempre cero, mientras que el segundo es la varianza de un conjunto de valores.
Muestra. Conjunto de elementos extraídos de un conjunto mayor -conocido como población, que se estudia a fin de conocer aproximadamente las características de la población de donde proviene.
Muestra grande. Se dice de aquélla en la que el número de sus elementos es de 30 o más. (Algunos autores fijan ese valor en 25.)
Muestra pequeña. Se dice de aquélla en la que el número de elementos que la componen es menor que 30.
Muestreo. Proceso de obtener en forma aleatoria un conjunto de elementas representativos de una población, a fin de estudiar algunas características de ésta.
Muestreo con reemplazo. Aquel que se realiza regresando a la población el elemento extraído, con lo cual puede ser seleccionado nuevamente, simulando así una población infinita.
Muestreo sin reemplazo. Aquel en el que el elemento extraído no se regresa a la población de donde se tomó, evitando así que pueda ser seleccionado nuevamente.
Muestreo destructivo. Transforma las características de las muestras. Por ejemplo, al determinar lá vida útil de una llanta, o la cantidad de jugo que produce una naranja, la muestra se destruye.
Muestreo no destructivo. Éste se realiza sin modificar las características de las muestras, por ejemplo, al determinar la estatura o el peso de una persona, o el saldo promedio diario de una cuenta bancaria.

Nivel de confianza. Expresa el porcentaje de seguridad de obtener un resultado. Por ejemplo: con un nivel de confianza del 95%, la media está entre $6.50 y $6.80.
Nivel de significación. Es el complemento a 100% del nivel de confianza. Es el valor máximo tolerable de probabilidad de cometer un error de tipo 1. Se identifica por la letra griega alfa (α)



Parámetros. Valores estadísticos de una población. Compare este concepto con el de Estadísticos.
Permutación. Agrupamiento de elementos en el cual el orden de éstos es importante. Por ejemplo: en una permutación el grupo de elementos ABC es diferente al grupo BCA. Compare este concepto con el de Combinación.
Población. Es el total de elementos de un conjunto. Por ejemplo: el total de manzanas producidas en la huerta "La flor", o el total de artículos elaborados en una fábrica de cuadernos. Compare este concepto con el de Muestra.
Población finita. Aquélla cuyos elementos pueden contarse, por ejemplo el número de ballenas en el mundo.
Población infinita. En ésta, el número de elementos es sumamente grande, como los granos de arena en el mar; o definitivamente no medible, como las estrellas del universo.
Polígono de frecuencias. Figura cenada delimitada en su base por el eje horizontal, y cuyos vértices son los puntos centrales de la horizontal superior de cada barra del grama, incluyendo también la clase anterior a la primera y la clase siguiente a la último.
Porcentaje de variación. Proporción, en porcentaje, de la relación de la desviación dar respecto a la media de un conjunto de datos.
Porcentiles. Identifican los valores que dividen un grupo de datos en 100 partes iguales.
Probabilidad. Disciplina que se encarga de analizar situaciones en las que interviene el azar. Es la relación entre el número de resultados exitosos respecto al total de resultados posibles.
Probabilidad compuesta o conjunta. Es la probabilidad correspondiente a un evento compuesta por dos o más eventos. Por ejemplo: la probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda, el dado caiga en 3 y la moneda en sol.
Probabilidad condicional. Es la probabilidad correspondiente a un evento si se conoce que. Ya ocurrió otro evento del cual depende el primero. Por ejemplo: la probabilidad de que llueva hoy, si el porcentaje de humedad relativa en el ambiente es mayor del 80%.
Promedio móvil. Este promedio considera sólo un subconjunto de un conjunto mayor de datos, reduciendo así las diferencias entre los datos originales.
Promedio ponderado. Es el promedio de un conjunto de datos, afectados cada uno de ellos por un factor de ponderación. Este factor le da una importancia relativa a cada uno de los datos.
Pruebas de hipótesis. Procedimientos que permiten aceptar o rechazar hipótesis con base en los resultados obtenidos por muestreo.
Pruebas de dos colas. Aquellas que se realizan para distribuir el nivel de significación en los dos extremos de la distribución. Por ejemplo, cuando se desea comprobar que el espesor de una cartulina está dentro de un valor mínimo y un valor máximo. Los valores dentro de ese intervalo forman la región de aceptación; los demás están en la región de rechazo.
Pruebas de una cola. Aquellas en las que sólo interesa el error en un lado de la distribución. Por ejemplo, cuando se desea comprobar que la duración media de una llanta sea mayor que 60000 kilómetros. Los valores superiores a 60 000 km forman la región de aceptación, los demás están en la región de rechazo.



Rango. El rango o amplitud es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de un conjunto de datos.
Recta de regresión. Conocida también como recta de ajuste, es aquella que se obtiene al minimizar los cuadrados de las distancias verticales (errores) entre dicha recta y los valores observados.
Regresión. Técnica para obtener una ecuación para efectos de estimar o predecir con base en valores observados. Vea Análisis de regresión.
Regresión lineal. Regresión en la cual la ecuación que se obtiene es la de una recta.
Regresión no lineal. Aquélla en la cual la ecuación que se obtiene es la de una curva.
Regresión múltiple. Aquella que incluye una variable dependiente y dos o más variables independientes.
Sesgo. Medida que expresa la asimetría de una distribución. Vea Coeficiente de asimetría de Pearson.
Sesgo negativo. En éste, la cola del lado izquierdo es más larga que la cola del lado derecho.
Sesgo positivo. En éste, la cola del lado derecho es más larga que la cola del lado izquierdo.



Tabla de contingencias. Tabla que muestra las frecuencias con que se presentan todos los resultados posibles de dos variables de un mismo suceso, por ejemplo el color y el número de puertas de un grupo de automóviles.
Tamaño de la muestra. Es el número de elementos que componen una muestra. El tamaño de la muestra es el factor primordial en la duración y costo del muestreo, sobre todo con pruebas destructivas.
Teorema del límite central. Sean μ y σ la media y la desviación estándar de una población cualquiera. Si se toma repetidamente de esa población una muestra suficientemente grande, la distribución de la media de las muestras será de tipo normal, con media μ y desviación estándar σ / √n, sin importar la forma de la distribución de la población original.
Teorema del límite central (versión corta). Al aumentar el tamaño de la muestra, la distribución de muestreo se asemeja cada vez más a la distribución de probabilidad normal.
Teoría del muestreo. Estudia las muestras de una población, a fin de conocer ésta en base a aquéllas, o para conocer anticipadamente una muestra, con base en una población conocida.

Triángulo de Pascal. Figura simétrica que presenta los coeficientes de un binomio elevado a una potencia.
Unidad de variación. Es la mínima diferencia que puede presentarse entre dos datos del conjunto que se analiza. Por ejemplo, si los datos son las estaturas en metros y centímetros de un grupo de personas, la mínima diferencia entre ellas será un centímetro (0.0 1 metros).



Variable. Forma de expresar una característica de un grupo de elementos, por ejemplo el peso de una persona.
Variable continua. Aquella que puede tomar cualquier valor. Por ejemplo: el peso, en kilogramos, de una fruta cualquiera, o el saldo promedio diario de una cuenta bancaria.

Variable cualitativa. Aquella que expresa una característica no numérica, por ejemplo el grado de madurez de un mango.

Variable cuantitativa. Aquella que se expresa en forma numérica, por ejemplo el costo de un kilogramo de fríjol.

Variable discreta. Aquella que puede tomar sólo algunos valores válidos, por ejemplo el número de habitantes de una ciudad (obligadamente, entero positivo) o, comúnmente, la estatura de una persona en metros y centímetros.

Varianza. Es el promedio de las diferencias, elevadas al cuadrado, de cada valor menos la media de un conjunto de datos. Aunque este valor tiene muchas propiedades matemáticas deseables, tiene el inconveniente de presentar su valor en unidades al cuadrado, por lo que es más común utilizar su raíz cuadrada, esto es, la desviación estándar.
Varianza muestral. Es la varianza de una muestra. Se calcula de manera similar a la varianza común o poblacional, pero en vez de calcularla con n (número de datos) como divisor, se utiliza la expresión n - 1.

ANEXO 1

FACTORIALES DE LOS NÚMEROS 70 A 200
NÚMERO FACTORIAL NÚMERO FACTORIAL NÚMERO FACTORIAL NÚMERO FACTORIAL
70 1.979E100
75 2.4809E109
80 7.156E118
85 2.8171E128
90 1.4857E138
95 1.0330E148
100 9.3326E157 105 1.0814E168
110 1.5882E178
115 2.9251E188
120 6.6895E198
125 1.8827E209
130 6.4669E219
135 2.6905E230 140 1.3462E241
145 8.0479E251
150 5.7134E262
155 4.7891E273
160 4.7147E284
165 5.4239E295
170 7.2574E306 175 1.1244E318
180 2.0090E329
185 4.1225E340
190 9.6803E351
195 2.5918E363
200 7.8866E374






ANEXO 2

MUESTREO PARA ACEPTACIÓN DE LOTES CON UN NIVEL DE CONFIANZA DEL 90 % . NÚMERO MÁXIMO DE ARTÍCULOS DEFECTUOSOS PERMISIBLE EN UNA MUESTRA DE TAMAÑO n.


Tamaño de la muestra Porcentaje de artículos defectuosos tolerable en el lote que se muestra
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 20% 25% 30% 40% 50%
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 3 4
7 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4
8 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 5
10 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 5 6
12 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 5 6 7
15 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 5 6 7 9
20 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 5 7 8 10 12
25 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 7 8 9 12 15
30 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 8 10 11 14 18
40 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 8 10 13 15 19 23
50 0 1 2 3 4 4 5 6 6 7 8 10 13 15 18 23 29
60 1 2 3 3 4 5 6 7 7 8 9 12 15 18 22 28 34
80 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 24 28 37 45
100 1 3 4 6 7 8 9 11 12 13 15 19 24 30 35 45 55


ANEXO 3

ÁREA BAJO LA CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA



0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 2157 .2190 .2224
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549
0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2734 .2764 .2793 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3116 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3943 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 ..4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 ..4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4338 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4924 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4967 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
3.0 .4986 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990
3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993
3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995
3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996
3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998
3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998
3.6 .4998 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 4999 .4999
3.7 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999
3.8 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999
3.9 .4999 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000


BIBLIOGRAFÍA

1) AROLDO Elorza (1998). Estadística para ciencias del comportamiento. Ed. C.E.C.S.A.

2) GORDON Fuller. (2000). Álgebra Universitaria. Ed. C.E.C.S.A

3) MURRIA R. Spiegel. (1991). Estadística. Ed. Mc Graw Hill. Segunda Edición. España.

4) SÁNCHEZ, (1998) Octavio. Probabilidad y Estadística. Ed. . Mc Graw Hill. México

5) SEYMOR Lipschutz. Probabilidad Ed. Mc Graw Hill, México.

6) STEPHEN S. Willoughby. Probabilidad y Estadística Ed. Publicaciones Cultural, S.A. México.

7) JOHNSON Robert. (1990). Estadística Elemental. Ed. Iberoamericana